Индекс Тейла

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Индекс Тейла представляет собой показатель измерения социального неравенства, предложенный в 1967 г. нидерландским учёным Анри Тейлом[1]. Индекс Тейла основан на предложенном Шенноном понятии информационной энтропии. В отличие от коэффициента Джини индекс Тейла разложим, то есть, если популяция разбита на группы, то индекс Тейла всей популяции можно записать в виде взвешенной суммы индексов Тейла каждой из групп и показателя социального неравенства между группами. Разложимость индекса Тейла позволяет говорить о проценте социального неравенства, объяснимого заданным разбиением популяции на группы, и сравнивать различные разбиения[2].

Расчёт индекса Тейла[править | править вики-текст]

Индексы Тейла T_1 и T_0 рассчитываются по следующим формулам[3]:


T_1=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \left( \frac{x_i}{\overline{x}} \cdot \ln{\frac{x_i}{\overline{x}}} \right)

T_0=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \left( \ln{\frac{\overline{x}}{x_i}} \right)

где x_i доход i-го индивидуума, \overline{x}= \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i среднее значение дохода, и N количество индивидуумов в популяции. Если доходы всех индивидуумов равны, то индексы Тейла равны нулю. Если доход всей популяции сконцентрирован в руках одного индивидуума, то индексы Тейла равны ln N. Иногда в литературе индексом Тейла называется только индекс T_1, в то время как T_0 называется среднелогарифмическим отклонением[4]. Среднелогарифмическое отклонение, чувствительно к изменениям у нижней границы шкалы распределения, в то время как индекс Тейла, одинаково чувствителен к изменениям по всей шкале распределения[5].

Разложимость индекса Тейла[править | править вики-текст]

Если популяция разбита на группы G_1, ..., G_J, то индекс Тейла можно записать как


T =\sum_{j=1}^J \omega_j*T(G_j) + T(\{y_1,...,y_J\}),

где \omega_j = \frac{N_j}{N}\frac{y_j}{\overline{x}}, y_j — среднее значение дохода в группе G_j, \overline{x}= \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i среднее значение дохода во всей популяции, N_j — количество индивидуумов в группе G_j и N — количество индивидуумов в популяции[2]. Отношение \frac{T(\{y_1,...,y_J\})}{T} — процент социального неравенства, объяснимый заданным разбиением на группы. Так, по 32,6 % неравенства уровней расходов в Индонезии может быть объяснено уровнем образования главы семьи, 18,9 % провинцией проживания и только 2,6 % гендером главы семьи[6].

Математические особенности индекса Тейла[править | править вики-текст]

Индекс Тейла инвариантен по отношению к умножению, то есть, он не изменяется при девальвации. Индекс Тейла не инвариантен по отношению к сложению.

Индекс Тейла и индекс Аткинсона[править | править вики-текст]

Индекс Аткинсона вычисляется с применением функции 1-e^{- T}, где T — индекс Тейла[7].

Применения индекса Тейла[править | править вики-текст]

Кроме мнoгочисленных применений в области экономики[6], индекс Тейла используется при оценке качества ирригационных систем[8] и распределения метрик программного обеспечения[9].

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Статистическая система R позволяет вычисление индекса Тейла с помощью пакета «ineq».
  • Аналогичный пакет доступен и для системы MATLAB.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. H. Theil, Economics and Information Theory, North-Holland, 1967.
  2. 1 2 F. A. Cowell, S. P. Jenkins, How much inequality can we explain? A methodology and an application to the United States, Economic Journal 105 (429) (1995) 421-30.
  3. http://economicsbulletin.vanderbilt.edu/2008/volume15/EB-07O10036A.pdf
  4. F. A. Cowell, Measurement of inequality, Vol. 1 of Handbook of Income Distribution, Elsevier, 2000, pp. 87 — 166.
  5. Алин Кудуэль, Йеско С.Хендшель и Квентин T. Уодон. Измерение и анализ бедности
  6. 1 2 T. Akita, R. A. Lukman, Y. Yamada, Inequality in the distribution of household expenditures in Indonesia: A Theil decomposition analysis, Developing Economies XXXVII (2) (1999) 197—221.
  7. James E. Foster in annexe A.4.1 (p.142) of: Amartya Sen, On Economic Inequality, 1973/1997
  8. Rajan K. Sampath. Equity Measures for Irrigation Performance Evaluation. Water International, 13(1), 1988.
  9. A. Serebrenik, M. van den Brand. Theil index for aggregation of software metrics values. 26th IEEE International Conference on Software Maintenance. IEEE Computer Society.