Индикатор (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Индикатор, или характеристическая функция, или индикаторная функция, или функция принадлежности подмножества A \subseteq X — это функция, определённая на множестве  X, которая указывает на принадлежность элемента  x \in X подмножеству A.

Так как термин «характеристическая функция» уже занят в теории вероятностей, термин «индикаторная функция» чаще всего используется в контексте теории вероятностей, для других областей чаще используется термин «характеристическая функция».

Для аналитического представления индикаторной функции нередко используется функция Хевисайда.

Определение[править | править исходный текст]

Пусть A\subseteq X — выбранное подмножество произвольного множества X. Функция \mathbf{1}_A:X\to\{0,1\}, определённая следующим образом:

\mathbf{1}_A(x) = 
\left\{\begin{matrix} 
1, &x \in A, \\
0, &x \notin A,
\end{matrix}\right.

называется индикатором множества A.

Альтернативными обозначениями индикатора множества A являются: \chi_A или \mathbf{I}_A, а иногда даже A(x). Нотация Айверсона позволяет обозначение [x \in A].

(Греческая буква \chi происходит от начальной буквы греческого написания слова характеристика.)

Предупреждение. Обозначение \mathbf{1}_A может означать функцию идентичности.

Основные свойства[править | править исходный текст]

Отображение, которое связывает подмножество A \subseteq X с его индикатором \mathbf{1}_A инъективно. Если A и B — два подмножества X \ , то

\mathbf{1}_{A\cap B} = \min\{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B\} = \mathbf{1}_A \mathbf{1}_B,
\mathbf{1}_{A\cup B} = \max\{{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B}\} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_A \mathbf{1}_B,
\mathbf{1}_{A\triangle B} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - 2(\mathbf{1}_{A\cap B}),
\mathbf{1}_{A^c} = 1-\mathbf{1}_A.

Более общо, предположим A_1,\ldots, A_n — это набор подмножеств X. Ясно, что для любого x \in X

 \prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}(x))

— произведение нулей и единиц. Это произведение принимает значение 1 точно для тех x \in X, которые не принадлежат ни одному множеству A_k и 0 иначе. Поэтому

 \prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}) = \mathbf{1}_{X - \bigcup_{k} A_k} = 1 - \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}.

Разворачивая левую часть, получаем

 \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}= 1 - \sum_{F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k} = \sum_{\emptyset \neq F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|+1} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k},

где |F| — мощность F. Это одна из форм принципа включения-исключения. Этот пример указывает, что индикатор — полезное обозначение в комбинаторике, которое используется также и в других областях, например в теории вероятностей: если Xвероятностное пространство с вероятностной мерой \mathbf{P}, а Aизмеримое множество, то индикатор \mathbf{1}_A становится случайной величиной, чье математическое ожидание равно вероятности A:

E(\mathbf{1}_A)= \int\limits_{X} \mathbf{1}_A(x)\,d\mathbf{P} = \int\limits_{A} d\mathbf{P} = \mathbf{P}(A).\quad

Это тождество используется в простых доказательствах неравенства Маркова.

Библиография[править | править исходный текст]

  • Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
  • Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 5.2: Indicator random variables, pp. 94–99.

См. также[править | править исходный текст]