Индуцированная топология

Индуци́рованная — естественный способ задания топологии на подмножестве топологического пространства.

Определение

Пусть дано топологическое пространство $(X,\;\mathcal{T})$, где $X$ — произвольное множество, а $\mathcal{T}$ — определённая на $X$ топология. Пусть также $Y \subset X$. Определим $\mathcal{T}_Y$ — семейство подмножеств $Y$ следующим образом:

$\mathcal{T}_Y=\{U\cap Y\mid U\in\mathcal{T}\}.$

Несложно проверить, что $\mathcal{T}_Y$ является топологией на $Y$. Эта топология называется индуцированной топологией $\mathcal{T}$. Топологическое пространство $(Y,\;\mathcal{T}_Y)$ называется подпростра́нством $(X,\;\mathcal{T})$.

Пример

Пусть дана вещественная прямая $\R$ со стандартной топологией. Тогда топология, индуцированная последней на множестве всех натуральных чисел $\mathbb{N}\subset\R$, является дискретной.