Индуцированная топология

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Индуци́рованная — естественный способ задания топологии на подмножестве топологического пространства.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть дано топологическое пространство (X,\;\mathcal{T}), где X — произвольное множество, а \mathcal{T} — определённая на X топология. Пусть также Y \subset X. Определим \mathcal{T}_Y — семейство подмножеств Y следующим образом:

\mathcal{T}_Y=\{U\cap Y\mid U\in\mathcal{T}\}.

Несложно проверить, что \mathcal{T}_Y является топологией на Y. Эта топология называется индуцированной топологией \mathcal{T}. Топологическое пространство (Y,\;\mathcal{T}_Y) называется подпростра́нством (X,\;\mathcal{T}).

Пример[править | править вики-текст]

Пусть дана вещественная прямая \R со стандартной топологией. Тогда топология, индуцированная последней на множестве всех натуральных чисел \mathbb{N}\subset\R, является дискретной.