Индуцированная топология

Индуци́рованная тополόгия — естественный способ задания топологии на подмножестве топологического пространства.

Определение

Пусть дано топологическое пространство $(X,\;{\mathcal {T}})$, где $X$ — произвольное множество, а ${\mathcal {T}}$ — определённая на $X$ топология. Пусть также $Y\subset X$. Определим ${\mathcal {T}}_{Y}$ — семейство подмножеств $Y$ следующим образом:

${\mathcal {T}}_{Y}=\{U\cap Y\mid U\in {\mathcal {T}}\}.$

Несложно проверить, что ${\mathcal {T}}_{Y}$ является топологией на $Y$. Эта топология называется индуцированной топологией ${\mathcal {T}}$. Топологическое пространство $(Y,\;{\mathcal {T}}_{Y})$ называется подпростра́нством $(X,\;{\mathcal {T}})$.

Эту конструкцию можно обобщить. Пусть $X$ – произвольное множество, $(Y,\;{\mathcal {T}}_{Y})$ – топологическое пространство и $f:X\to Y$ – произвольное отображение $X$ в $Y$. Тогда в качестве ${\mathcal {T}}_{X}$ возьмем всевозможные множества вида $f^{-1}$($V$), где $V$ – открытые множества в $Y$. Топология ${\mathcal {T}}_{X}$ называется индуцированной отображением $f$ топологией. Она хороша тем, что отображение $f$ в этой топологии автоматически становится непрерывным. Это самая слабая (она содержит меньше всего множеств) из всех возможных топологий пространства $X$, для которых отображение $f$ будет непрерывным.

Пример

Пусть дана вещественная прямая $\mathbb {R}$ со стандартной топологией. Тогда топология, индуцированная последней на множестве всех натуральных чисел $\mathbb {N} \subset \mathbb {R}$, является дискретной.