Интегральное уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Интегра́льное уравне́ние — функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро-дифференциальном уравнении.

Классификация интегральных уравнений[править | править исходный текст]

Линейные интегральные уравнения[править | править исходный текст]

Это интегральные уравнения, в которые неизвестная функция входит линейно:

\varphi(x)=\lambda\int K(x,\;s)\varphi(s)\,ds+f(x),

где \varphi(x) — искомая функция, f(x), K(x,\;s) — известные функции, \lambda — параметр. Функция K(x,\;s) называется ядром интегрального уравнения. В зависимости от вида ядра и свободного члена линейные уравнения можно разделить еще на несколько видов.

Уравнения Фредгольма[править | править исходный текст]

Уравнения Фредгольма 2-го рода[править | править исходный текст]

Уравнения Фредгольма 2-го рода — это уравнения вида:

\varphi(x)=\lambda\int\limits_a^b K(x,\;s)\varphi(s)\,ds+f(x).

Пределы интегрирования могут быть как конечными, так и бесконечными. Переменные удовлетворяют неравенству: a\leqslant x,\;s\leqslant b, а ядро и свободный член должны быть непрерывными: K(x,\;s)\in C(a\leqslant x,\;s\leqslant b),\;f(x)\in C([a,\;b]), либо удовлетворять условиям:

\int\limits_a^b\int\limits_a^b|K(x,\;s)|^2\,dx\,ds<+\infty,\qquad\int\limits_a^b|f(x)|^2\,dx<+\infty.

Ядра, удовлетворяющие последнему условию, называют фредгольмовыми. Если f(x)\equiv 0 на [a,\;b], то уравнение называется однородным, иначе оно называется неоднородным интегральным уравнением.

Уравнения Фредгольма 1-го рода[править | править исходный текст]

Уравнения Фредгольма 1-го рода выглядят так же, как и уравнение Фредгольма 2-го рода, только в них отсутствует часть, содержащая неизвестную функцию вне интеграла:

\int\limits_a^b K(x,\;s)\varphi(s)\,ds=f(x),

при этом ядро и свободный член удовлетворяют условиям, сформулированным для уравнений Фредгольма 2-го рода.

Уравнения Вольтерры[править | править исходный текст]

Уравнения Вольтерры 2-го рода[править | править исходный текст]

Уравнения Вольтерры отличаются от уравнений Фредгольма тем, что один из пределов интегрирования в них является переменным:

\varphi(x)=\lambda\int\limits_a^x K(x,\;s)\varphi(s)\,ds+f(x),\qquad a\leqslant x\leqslant b.
Уравнения Вольтерры 1-го рода[править | править исходный текст]

Также, как и для уравнений Фредгольма, в уравнениях Вольтерры 1-го рода отсутствует неизвестная функция вне интеграла:

\int\limits_a^x K(x,\;s)\varphi(s)\,ds=f(x).

В принципе, уравнения Вольтерры можно рассматривать как частный случай уравнений Фредгольма, если переопределить ядро:

\mathcal{K}(x,\;s)=\begin{cases}K(x,\;s), & a\leqslant s\leqslant x, \\
0, & x<s\leqslant b.\end{cases}

Однако некоторые свойства уравнений Вольтерры не могут быть применены к уравнениям Фредгольма.

Нелинейные уравнения[править | править исходный текст]

Можно придумать немыслимое многообразие нелинейных уравнений, поэтому дать им полную классификацию не представляется возможным. Вот лишь их некоторые типы, имеющие большое теоретическое и прикладное значение.

Уравнения Урысона[править | править исходный текст]

\varphi(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s,\;\varphi(s))\,ds,\qquad K(x,\;s,\;\varphi)\in C(a\leqslant x,\;s\leqslant b;\;-M\leqslant\varphi\leqslant M).

Постоянная M — это некоторое положительное число, которое заранее не всегда может быть определено.

Уравнения Гаммерштейна[править | править исходный текст]

Уравнения Гаммерштейна являются важным частным случаем уравнения Урысона:

\varphi(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s)F(s,\;\varphi(s))\,ds,

где K(x,\;s) — фредгольмово ядро.

Уравнения Ляпунова — Лихтенштейна[править | править исходный текст]

Именами Ляпунова — Лихтенштейна принято называть уравнения, содержащие существенно нелинейные операторы, например, уравнение вида:

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_a^b K_{[1]}(x,\;s)\varphi(s)\,ds+\mu\int\limits_a^b\int\limits_a^b K_{[1,\;1]}(x,\;s,\;z)\varphi(x)\varphi(z)\,ds\,dz+\ldots

Нелинейное уравнение Вольтерры[править | править исходный текст]

\varphi(x)=\int\limits_a^x F(x,\;s,\;\varphi(s))\,ds,

где функция F(x,\;s,\;\varphi) непрерывна по совокупности своих переменных.

Методы решения[править | править исходный текст]

Прежде, чем рассмотреть некоторые методы решения интегральных уравнений, следует заметить, что для них, как и для дифференциальных уравнений не всегда удается получить точное аналитическое решение. Выбор метода решения зависит от вида уравнения. Здесь будут рассмотрены несколько методов для решения линейных интегральных уравнений.

Преобразование Лапласа[править | править исходный текст]

Метод преобразования Лапласа может быть применён к интегральному уравнению, если входящий в него интеграл имеет вид свёртки двух функций:

\int\limits_0^x f(x-t)g(t)\,dt\risingdotseq F(p)G(p),

то есть, когда ядро является функцией разности двух переменных:

\varphi(x)=f(x)+\int\limits_0^x K(x-s)\varphi(s)\,ds.

Например, дано такое уравнение:

\varphi(x)=\sin x+2\int\limits_0^x \cos(x-s)\varphi(s)\,ds.

Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения:

\varphi(x)\risingdotseq\Phi(p),
\Phi(p)=\frac{1}{1+p^2}+2\frac{p}{1+p^2}\Phi(p)\Rightarrow\Phi(p)=\frac{1}{(p-1)^2}.

Применяя обратное преобразование Лапласа, получим:

\varphi(x)=\underset{p=1}{\mathrm{res}}\,\frac{1}{(p-1)^2}e^{px}=(e^{px})'_p\Big|_{p=1}=xe^x.

Метод последовательных приближений[править | править исходный текст]

Метод последовательных приближений применяется для уравнений Фредгольма 2-го рода, если выполняется условие:

|\lambda||b-a|\max_{a\leqslant x,\;s\leqslant b}|K(x,\;s)|<1.

Это условие необходимо для сходимости ряда Лиувилля — Неймана:

\varphi(x)=\sum_{k=0}^\infty\lambda^k(K^kf)(x),

который и является решением уравнения. (K^kf)(x) — k-ая степень интегрального оператора (Kf)(x):

(Kf)(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s)f(s)\,ds.

Впрочем, такое решение является хорошим приближением лишь при достаточно малых |\lambda|.

Этот метод применим также и при решении уравнений Вольтерры 2-го рода. В таком случае, ряд Лиувилля - Неймана сходится при любых значениях |\lambda|, а не только при малых.

Метод резольвент[править | править исходный текст]

Метод резольвент является не самым быстрым решением интегрального уравнения Фредгольма второго рода, однако иногда нельзя указать других путей решения задачи.

Если ввести следующие обозначения:

\begin{align}
K_0(x,\;t)=K(x,\;t),\\
K_1(t,\;s)=K(t,\;s),
\end{align}

то повторными ядрами ядра K(x,\;s) будут ядра K_p(x,\;s):

K_p(x,\;s)=\int\limits_a^b K(x,\;t)K_{p-1}(t,\;s)\,dt.

Ряд, составленный из повторных ядер,

\mathcal{R}(x,\;s,\;\lambda)=\sum_{k=0}^\infty\lambda^k K_{k+1}(x,\;s),

называется резольвентой ядра K(x,\;s) и является регулярно сходящимся при a\leqslant x, s\leqslant b и вышеупомянутому условию сходимости ряда Лиувилля — Неймана. Решение интегрального уравнения представляется по формуле:

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_a^b\mathcal{R}(x,\;s,\;\lambda)f(s)\,ds.

Например, для интегрального уравнения

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_0^1 xs\varphi(s)\,ds

повторными будут следующие ядра:

K_0(x,\;s)=xs,
K_1(x,\;t)=xt,
K_2(x,\;t)=\int\limits_0^1 xs\,st\,ds=\frac{xt}{3},
K_3(x,\;t)=\int\limits_0^1 xs\frac{st}{3}\,ds=\frac{xt}{9},
\ldots
K_{n+1}=\frac{xt}{3^n},

а резольвентой — функция

\mathcal{R}(x,\;t,\;\lambda)=\sum_{n=0}^\infty\lambda^n K_{n+1}=\sum_{n=0}^\infty\lambda^n\frac{xt}{3^n}=xt\frac{1}{1-\dfrac{\lambda}{3}}=\frac{3xt}{3-\lambda}.

Тогда решение уравнения находится по формуле:

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_0^1\frac{3xt}{3-\lambda}f(t)\,dt.

Метод сведения к алгебраическому уравнению[править | править исходный текст]

В случае, если ядро интегрального уравнения Фредгольма является вырожденным, то есть K(x,\;s)=\sum_{i=1}^N f_i(x)g_i(s), само интегральное уравнение можно свести к системе алгебраических уравнений. Действительно, в этом случае уравнение можно переписать так:

\varphi(x)=\lambda\sum_{i=1}^N f_i(x)\int\limits_a^b g_i(s)\varphi(s)\,ds+f(x)=\lambda\sum_{i=1}^N c_if_i(x)+f(x),

где c_i=\int\limits_a^b\varphi(s)g_i(s)\,ds. Умножив предыдущее равенство на g_i(x) и проинтегрировав его по x на отрезке [a,\;b], приходим к системе алгебраических уравнений для неизвестных чисел c_i:

c_i=\lambda\sum_{k=0}^N a_{ik}c_k+b_i,\qquad i=1,\;\ldots,\;N,

где a_{ik}=\int\limits_a^b g_i(x)f_k(x)\,dx и b_i=\int\limits_a^b g_i(x)f(x)\,dx — числовые коэффициенты.

Приближённо этим методом можно решить интегральное уравнение Фредгольма с любым ядром, если в качестве вырожденного ядра, близкого к действительному, взять отрезок ряда Тейлора для функции K(x,\;s).[1]

Замена интеграла конечной суммой[править | править исходный текст]

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода: \varphi(x) - \lambda \int_{a}^{b} K(x,t) \varphi(t) dt = f(x), где K(x,t) и f(x) имеют непрерывные производные нужного порядка, \lambda - заданное число. Используем квадратурную формулу: \int_{a}^{b}\Phi(x)dx\approx\sum_{k=1}^{n}A_{k}\Phi(x_{k}), где x_{1}, x_{2}, ... x_{n} - точки на отрезке [a, b], а коэффициенты A_{1}, A_{2}, ... , A_{n} не зависят отвида функции \Phi(x). Рассмотрим исходное уравнение в точках x_{k}: \varphi(x_{k}) - \lambda \int_{a}^{b} K(x_{k},t) \varphi(t) dt = f(x_{k}). Заменим интеграл в левой части уравнения с помощью квадратурной формулы: \varphi(x_{k}) - \lambda \sum_{m=1}^{n} K(x_{k}, x_{m}) \varphi(x_{m}) = f(x_{k}). Получаем линейную систему n алгебраических уравнений с n неизвестными \varphi(x_{1}), \varphi(x_{2}), ... \varphi(x_{n}), которые являются приближёнными значениями решения \varphi(x) в точках x_{1}, x_{2}, ... x_{n}. В качестве приближённого решения исходного интегрального уравнения можно принять функцию: \overline{\varphi(x)} = \lambda \sum_{m=1}^{n} A_{m}K(x, x_{m}) \varphi(x_{m})[1].

Приложения[править | править исходный текст]

Термин «интегральное уравнение» ввёл в 1888 году П. Дюбуа-Реймон, однако первые задачи с интегральными уравнениями решались и ранее. Например, в 1811 году Фурье решил задачу об обращении интеграла, которая теперь носит его имя.

Формула обращения Фурье[править | править исходный текст]

Задача состоит в нахождении неизвестной функции f(y) по известной функции g(x):

g(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{ixy}f(y)\,dy.

Фурье получил выражение для функции f(y):

f(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-ixy}g(x)\,dx.

Сведение задачи Коши к интегральному уравнению[править | править исходный текст]

К нелинейным интегральным уравнениям Вольтерры приводит задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений:

\frac{dx}{dt}=F(t,\;x(t)),\qquad x(a)=x_0.

В самом деле, это уравнение можно проинтегрировать по t от a до t:

x(t)=x_0+\int\limits_a^t F(s,\;x(s))\,ds.

Решение начальной задачи для линейных дифференциальных уравнений приводит к линейным интегральным уравнениям Вольтерры 2-го рода. Этим еще в 1837 году воспользовался Лиувилль. Пусть, например, поставлена задача:

x''(t)+[\lambda^2-\nu(t)]x(t)=0\qquad (\lambda=\mathrm{const}),\;x(a)=1,\;x'(a)=0.

Для уравнения с постоянными коэффициентами с теми же начальными условиями:

x''(t)+\lambda^2x(t)=g(t)

решение может быть найдено методом вариации постоянных и представлено в виде:

x(t)=\cos\lambda(t-a)+\frac{1}{\lambda}\int\limits_a^t g(\tau)\sin\lambda(t-\tau)\,d\tau.

Тогда для исходного уравнения получается:

x(t)=\cos\lambda(t-a)+\frac{1}{\lambda}\int\limits_a^t \nu(\tau)\sin\lambda(t-\tau)x(\tau)\,d\tau

— интегральное уравнение Вольтерры 2-го рода.

Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка

\frac{d^nx}{dt^n}+a_1(t)\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+\ldots+a_n(t)x(t)=F(t),\qquad t>a,
x(a)=C_0,\;x'(a)=C_1,\;\ldots,\;x^{(n-1)}(a)=C_{n-1}

также может быть сведено к интегральному уравнению Вольтерры 2-го рода.

Задача Абеля[править | править исходный текст]

Исторически считается, что первой задачей, которая привела к необходимости рассмотрения интегральных уравнений, является задача Абеля. В 1823 году Абель, занимаясь обобщением задачи о таутохроне, пришёл к уравнению:

f(x)=\int\limits_0^x\frac{\varphi(\eta)}{\sqrt{x-\eta}}\,d\eta,

где f(x) — заданная функция, а \varphi(x) — искомая. Это уравнение есть частный случай линейного интегрального уравнения Вольтерры 1-го рода. Уравнение Абеля интересно тем, что к нему непосредственно приводит постановка той или иной конкретной задачи механики или физики (минуя дифференциальные уравнения).

У Абеля формулировка задачи выглядела примерно так:

Материальная точка под действием силы тяжести движется в вертикальной плоскости (\xi,\;\eta) по некоторой кривой. Требуется определить эту кривую так, чтобы материальная точка, начав свое движение без начальной скорости в точке кривой с ординатой x, достигла оси O\xi за время t=f_1(x), где f_1(x) — заданная функция.

Если обозначить угол между касательной к траектории и осью O\xi как \beta и применить законы Ньютона, можно прийти к следующему уравнению:

\int\limits_0^x\frac{\varphi(\eta)}{\sqrt{x-\eta}}\,d\eta=-\sqrt{2g}f_1(x),\qquad\varphi(\beta)=\frac{1}{\sin\beta}.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. 1 2 Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1976. — С. 214.

Литература[править | править исходный текст]

  • М. Л. Краснов. Интегральные уравнения: введение в теорию. — М.: Наука, 1975.
  • Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5
  • И.Г. Петровский. Лекции об уравнениях с частными производными, 3-е изд.. — 1961.