Интеграл Дюамеля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Рис. 1. Пример линейной электрической цепи.
Рис. 2. Единичная функция - функция Хевисайда (сверху) и пример переходной функции линейной системы - отклик её на функцию Хевисайда (внизу).
Рис. 3. Пример сложного входного сигнала.

Интеграл Дюамеля — интеграл специального вида, применяется для расчёта отклика линейных систем на произвольно меняющиеся во времени входное воздействие. Расчёт основан на принципе суперпозиции, гласящего, что отклик линейной системы на сумму нескольких сигналов равен сумме откликов от каждого из слагаемых сигналов, сдвинутых во времени.

Используется для расчёта откликов линейных механических систем, линейных электрических цепей и др.

Назван в честь Жана Мари Констана Дюамеля, французского математика.

Идея применения метода состоит в следующем. Входной сигнал представляется в виде суммы (в общем случае бесконечной) стандартных сигналов, для которых отклик системы h(t), называемый переходной функцией, известен. В качестве стандартного сигнала обычно используется ступенчатая функция Хевисайда H(t). Отклик системы выражается в виде интеграла от произведения задержанного h(t) на входное воздействие (свёртка функций), который носит название интеграла Дюамеля.

Формулы[править | править вики-текст]

Для использования интеграла Дюамеля необходимо предварительно вычислить или измерить переходную функцию системы h(t), которая является откликом системы на единичный входной сигнал (рис. 2). Переходная функция находится любым доступным методом (решение системы дифференциальных уравнений, операторный метод измерением и т.д.). Для линейной системы переходной функцией может быть апериодический, колебательный, затухающий колебательный процессы или комбинация нескольких перечисленных процессов. Например, для системы рис. 1, переходная функция является апериодическим процессом, изображённым на рис. 2[1].

Если входной сигнал системы описывается функцией U(\tau), где \tau независимая переменная, реакция системы на этот сигнал выражается формулой, где U'(\tau) производная входного воздействия по времени:


Y(t)= U(0) \cdot h(t) + \int_0^t U'(\tau)h(t-\tau)d\tau

В случае, если входной сигнал составной и функция U(t) испытывает разрывы (моменты времени t_1 , t_2 на рис. 3), то вышеуказанная формула справедлива только на интервале [0, t_1]:


Y_1(t)= U_1(0) \cdot h(t) + \int_0^{t} U_1'(\tau)h(t-\tau)d\tau.

Отклик на остальных интервалах вычисляется по формулам, вытекающих из принципа суперпозиции:


Y_2(t)= U_1(0) \cdot h(t) + \int_0^{t_1} U_1'(\tau)h(t-\tau)d\tau + \left[ U_2(t_1)-U_1(t_1) \right] \cdot h(t-t_1) + \int_{t_1}^{t} U_2'(\tau)h(t-\tau)d\tau;

Y_3(t)= U_1(0) \cdot h(t) + \int_0^{t_1} U_1'(\tau)h(t-\tau)d\tau + \left[ U_2(t_1)-U_1(t_1) \right] \cdot h(t-t_1)+

+ \int_{t_1}^{t_2} U_2'(\tau)h(t-\tau)d\tau +\left[ U_3(t_2)-U_2(t_2) \right] \cdot h(t-t_2) + \int_{t_2}^{t} U_3'(\tau)h(t-\tau)d\tau;

Последние формулы означают, что

  • Отклик системы, возникший на ранних этапах развития процесса, продолжает действовать во всех последующих интервалах времени;
  • Разрыв функции в момент времени t_p на величину E эквивалентен прибавлению или вычитанию из входного сигнала единичной функции с соответствующим коэффициентом и сдвинутой на соответствующий интервал времени E\cdot 1(t - t_p) , что прибавляет в отклику системы дополнительный сигнал E\cdot h(t - t_p) ;
  • К указанным выше сигналам отклика в последующие интервалы времени прибавляются отклики, вычисленные по тем же формулам с учётом сдвига входного сигнала на соответствующее время.

Пример решения[править | править вики-текст]

Для линейной цепи рис. 1 найдём ток I3(t) через конденсатор под действием сложного входного сигнала, изображённого на рис. 3.

Вычисление переходной функции[править | править вики-текст]

Чтобы найти вид переходной функции, найдём решения характеристического уравнения


Z(p) = 0,

где Z(p) — записанное в операторной форме входное сопротивление системы со стороны источника сигнала.


Z(p) = R_1 + R_2 || X_C = R_1 + \frac{R_2}{1+R_2pC}= \frac{R_1+R_2+R_1R_2pC}{1+R_2pC};

R_1+R_2+R_1R_2pC = 0;

p = -\frac{R_1+R_2}{R_1R_2C} = -A;

Характеристическое уравнение имеет одно действительное решение, следовательно, переходная функция представляет собой экспоненту:


h(t) = h_0 e^{-At};

Полагая, что в момент времени t = 0 конденсатор разряжен, получим


h_0 = h(0) = \frac{1}{R_1}; h(t) = \frac{1}{R_1} e^{-At}.

Представление сигнала[править | править вики-текст]

Сложный входной сигнал представим в виде кусочной функции на трёх временных интервалах:

Сигнал Интервал U_i(t) U'_i(t)
U_1(t) 0 ... t_1 \frac{2E}{t_1}t \frac{2E}{t_1}
U_2(t) t_1 ... t_2 E 0
U_3(t) t_2 ... \mathcal{1} 0 0

Вычисление отклика системы[править | править вики-текст]

Решение ищется кусочно, для каждого интервала времени:


Y_1(t)= U_1(0) \cdot h(t) + \int_0^{t} U_1'(\tau)h(t-\tau)d\tau =

= 0 \cdot \frac{1}{R_1} e^{-At} + \int_0^{t} \frac{2E}{t_1} \cdot \frac{1}{R_1} e^{-A(t-\tau)}d\tau =

=  \frac{2E}{At_1R_1} e^{-A(t-\tau)}\Bigr|_0^{t} = \frac{2E}{At_1R_1} \cdot (1 - e^{-At}).

Y_2(t)= \int_{0}^{t_1} U_1'(\tau)h(t-\tau)d\tau + \left[ U_2(t_1)-U_1(t_1) \right] \cdot h(t-t_1) + \int_{t_1}^{t} U_2'(\tau)h(t-\tau)d\tau =

= \frac{2E}{At_1R_1}e^{-At}\cdot(e^{At_1} - 1) + (E - 2E)\cdot \frac{1}{R_1}e^{-A(t-t_1)} + \int_{t_1}^{t} 0 \cdot \frac{1}{R_1} e^{-A(t-\tau)} d\tau =

= \frac{2E}{At_1R_1}e^{-At}\cdot(e^{At_1} - 1) - \frac{E}{R_1}e^{-A(t-t_1)}.

Y_3(t)= \frac{2E}{At_1R_1}e^{-At}\cdot(e^{At_1} - 1) - \frac{E}{R_1}e^{-A(t-t_1)} +\left[ U_3(t_2)-U_2(t_2) \right] \cdot h(t-t_2) + \int_{t_2}^{t} U_3'(\tau)h(t-\tau)d\tau =

= \frac{2E}{At_1R_1}e^{-At}\cdot(e^{At_1} - 1) - \frac{E}{R_1}e^{-A(t-t_1)} + (0 - E)\cdot \frac{1}{R_1}e^{-A(t-t_2)} + \int_{t_2}^{t} 0 \cdot \frac{1}{R_1} e^{-A(t-\tau)} d\tau =

= \frac{2E}{At_1R_1}e^{-At}\cdot(e^{At_1}-1) - \frac{E}{R_1}e^{-A(t-t_1)} - \frac{E}{R_1}e^{-A(t-t_2)}.

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Нейман Л. Р., Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники: в 2-х т. Учебник для вузов. Том I. — 3-е изд., перераб. и доп. — Л.: Энергоиздат. Ленингр. отд-ние, 1981. — 536 с., ил.