Интеграл Дюамеля

Рис. 1. Пример линейной электрической цепи.

Рис. 2. Единичная функция — функция Хевисайда (сверху) и пример переходной функции линейной системы — отклик её на функцию Хевисайда (внизу).

Интегра́л Дюаме́ля — интеграл специального вида, применяется для расчёта отклика линейных систем на произвольно меняющееся во времени входное воздействие. Применимость этого интеграла основана на принципе суперпозиции для линейных систем, в которых отклик её на сумму нескольких воздействий как одновременных, так и сдвинутых во времени равен сумме откликов от каждого из слагаемых сигналов.

Используется для расчёта откликов линейных механических систем, линейных электрических цепей и др.

Назван в честь Жана Мари Констана Дюамеля, французского математика, предложившего его для расчёта отклика механических систем.

Идея применения метода состоит в следующем. Входной сигнал представляется в виде суммы (в общем случае бесконечной) некоторых стандартных сигналов, для которых отклик системы $h(t)$, называемый переходной функцией, известен.

В качестве стандартного входного сигнала в этом методе используется ступенчатая функция Хевисайда $H(t)$. Отклик системы выражается в виде интеграла от произведения задержанного $h(t)$ на входное воздействие (свёртка функций), который носит название интеграла Дюамеля.

Таким образом, зная отклик системы на воздействие в виде функции Хевисайда, описанный в аналитическом виде или полученный экспериментально, можно предсказать (рассчитать) отклик системы на произвольное входное воздействие.

Формулы

Для использования интеграла Дюамеля необходимо предварительно вычислить или измерить переходную функцию системы $h(t)$, которая является откликом системы на ступенчатый единичный входной сигнал (рис. 2).

Переходная функция, если она неизвестна, находится любым доступным методом (решение системы дифференциальных уравнений, операторный метод, измерением и т. д.). Для линейной системы переходной функцией может быть апериодический, колебательный, затухающий колебательный процессы или комбинация нескольких перечисленных процессов. Например, для системы рис. 1, переходная функция является апериодическим процессом, изображённым на рис. 2.

Если входной сигнал системы описывается функцией $U(\tau )$, где $\tau$ — независимая переменная, реакция системы на этот сигнал выражается формулой, где $U'(\tau )$ производная входного воздействия по времени:

$Y(t)=U(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t}U'(\tau )h(t-\tau )d\tau .$

В случае, если входной сигнал составной и функция $U(t)$ испытывает разрывы (моменты времени $t_{1}$ , $t_{2}$ на рис. 3), то вышеуказанная формула справедлива только на интервале [0, $t_{1}$]:

$Y_{1}(t)=U_{1}(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t}U_{1}'(\tau )h(t-\tau )d\tau .$

Отклик на остальных интервалах вычисляется по формулам, вытекающим из принципа суперпозиции:

$Y_{2}(t)=U_{1}(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t_{1}}U_{1}'(\tau )h(t-\tau )d\tau +\left[U_{2}(t_{1})-U_{1}(t_{1})\right]\cdot h(t-t_{1})+\int _{t_{1}}^{t}U_{2}'(\tau )h(t-\tau )d\tau ;$

$Y_{3}(t)=U_{1}(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t_{1}}U_{1}'(\tau )h(t-\tau )d\tau +\left[U_{2}(t_{1})-U_{1}(t_{1})\right]\cdot h(t-t_{1})+$

$+\int _{t_{1}}^{t_{2}}U_{2}'(\tau )h(t-\tau )d\tau +\left[U_{3}(t_{2})-U_{2}(t_{2})\right]\cdot h(t-t_{2})+\int _{t_{2}}^{t}U_{3}'(\tau )h(t-\tau )d\tau .$

Последние формулы означают, что:

• Отклик системы, возникший на ранних этапах развития процесса, продолжает действовать во всех последующих интервалах времени.
• Разрыв функции в момент времени $t_{p}$ на величину $E$ эквивалентен прибавлению или вычитанию из входного сигнала единичной функции с соответствующим коэффициентом и сдвинутой на соответствующий интервал времени $E\cdot 1(t-t_{p})$ , что прибавляет в отклику системы дополнительный сигнал $E\cdot h(t-t_{p})$.
• К указанным выше сигналам отклика в последующие интервалы времени прибавляются отклики, вычисленные по тем же формулам с учётом сдвига входного сигнала на соответствующее время.

Пример применения интеграла Дюамеля для решения

Рис. 3. Пример сложного входного сигнала.

Для линейной цепи рис. 1 найдём ток $I_{3}(t)$ через конденсатор под действием сложного входного сигнала, изображённого на рис. 3.

Вычисление переходной функции

Чтобы найти вид переходной функции, найдём решения характеристического уравнения

$Z(p)=0,$

где $Z(p)$ — записанное в операторной форме входное сопротивление системы со стороны источника сигнала, $p$ — комплексная переменная.

$Z(p)=R_{1}+R_{2}||X_{C}=R_{1}+{\frac {R_{2}}{1+R_{2}pC}}={\frac {R_{1}+R_{2}+R_{1}R_{2}pC}{1+R_{2}pC}};$

$R_{1}+R_{2}+R_{1}R_{2}pC=0;$

$p=-{\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}C}}=-A.$

Характеристическое уравнение имеет одно действительное решение, следовательно, переходная функция представляет собой экспоненту:

$h(t)=h_{0}e^{-At}.$

Полагая, что в момент времени $t=0$ конденсатор разряжен, получим

$h_{0}=h(0)={\frac {1}{R_{1}}};h(t)={\frac {1}{R_{1}}}e^{-At}.$

Вычисление отклика системы на сложный сигнал

Интервалы для вычисления
Сигнал	Интервал	$U_{i}(t)$	$U'_{i}(t)$
$U_{1}(t)$	$0...t_{1}$	${\frac {2E}{t_{1}}}t$	${\frac {2E}{t_{1}}}$
$U_{2}(t)$	$t_{1}...t_{2}$	$E$	$0$
$U_{3}(t)$	$t_{2}...{\mathcal {1}}$	$0$	$0$

Представление сигнала

Сложный входной сигнал представим в виде кусочной функции на трёх временных интервалах, указанных в таблице.

Решение

Решение ищется кусочно, для каждого интервала времени, в формулах $A={\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}C}}.$

$Y_{1}(t)=U_{1}(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t}U_{1}'(\tau )h(t-\tau )d\tau =$

$=0\cdot {\frac {1}{R_{1}}}e^{-At}+\int _{0}^{t}{\frac {2E}{t_{1}}}\cdot {\frac {1}{R_{1}}}e^{-A(t-\tau )}d\tau =$

$={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-A(t-\tau )}{\Bigr |}_{0}^{t}={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}\cdot (1-e^{-At}).$

$Y_{2}(t)=\int _{0}^{t_{1}}U_{1}'(\tau )h(t-\tau )d\tau +\left[U_{2}(t_{1})-U_{1}(t_{1})\right]\cdot h(t-t_{1})+\int _{t_{1}}^{t}U_{2}'(\tau )h(t-\tau )d\tau =$

$={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)+(E-2E)\cdot {\frac {1}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{1})}+\int _{t_{1}}^{t}0\cdot {\frac {1}{R_{1}}}e^{-A(t-\tau )}d\tau =$

$={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)-{\frac {E}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{1})}.$

$Y_{3}(t)={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)-{\frac {E}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{1})}+\left[U_{3}(t_{2})-U_{2}(t_{2})\right]\cdot h(t-t_{2})+\int _{t_{2}}^{t}U_{3}'(\tau )h(t-\tau )d\tau =$

$={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)-{\frac {E}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{1})}+(0-E)\cdot {\frac {1}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{2})}+\int _{t_{2}}^{t}0\cdot {\frac {1}{R_{1}}}e^{-A(t-\tau )}d\tau =$

$={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)-{\frac {E}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{1})}-{\frac {E}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{2})}.$

Ссылки

• Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. — 7-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 1978. — 528 с.
• Матханов П. Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.: Учеб. для электротехн. радиотехн. спец. вузов. 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 1990. — 400 с.
• Ni Zhenhua. Mechanics of Vibrations. Xi’an Jiaotong University Press, Xi’an, 1990 (in Chinese).
• R. W. Clough, J. Penzien. Dynamics of Structures. Mc-Graw Hill Inc., New York, 1975.
• Anil K. Chopra. Dynamics of Structures — Theory and applications to Earthquake Engineering. Pearson Education Asia Limited and Tsinghua University Press, Beijing, 2001.
• Leonard Meirovitch. Elements of Vibration Analysis. Mc-Graw Hill Inc., Singapore, 1986.
• Duhamel’s formula at «Dispersive Wiki».
• Расчет переходного процесса с помощью интеграла Дюамеля.
• Интеграл Дюамеля. Метод переменных состояния.
• Переходные и импульсные характеристики. Интеграл Дюамеля.
• Интеграл Дюамеля.

См. также

Преобразование Лапласа