Интеграл Курцвейля — Хенстока

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Интеграл Курцвейля — Хенстока — обобщение интеграла Римана, позволяет полностью решить задачу о восстановлении дифференцируемой функции по её производной. Ни интеграл Римана (в том числе и несобственный), ни интеграл Лебега не дают решения этой задачи в общем случае.

История[править | править вики-текст]

Первое определение интеграла, позволяющего решить задачу в общем случае было дано Арно Данжуа в 1912 году, он совершил попытку определить интеграл, позволивший бы интегрировать, например, производную функции f(x)=x^2 \cos\left(\frac{\pi}{x^2}\right). Функция \displaystyle f'(x) определена и конечна во всех точках (кроме 0), но не интегрируема по Лебегу. В попытке создания общей теории Данжуа использовал трансфинитную индукцию по возможным типам особенностей, которые сделали определение довольно сложным. Чуть позже Николай Лузин упростил определение Данжуа, но даже и после упрощения это определение оставалось технически очень сложным. В 1914 году Оскаром Перроном дано другое определение интеграла, также позволяющее полностью решить задачу о восстановлении функции по её производной. Через 10 лет Павел Александров и Роберт Ломан установили тождественность интегралов Данжуа и Перрона.

В 1957 году чешский математик Ярослав Курцвейль предложил новое определение интеграла, также позволявшее полностью решить задачу о восстановлении функции по её производной. Его определение являлось модификацией определения интеграла Римана. Дальнейшая теория этого интеграла была разработана Ральфом Хенстоком, после его работ конструкция известна как интеграл Курцвейля — Хенстока. Этот интеграл также тождественен интегралам Данжуа и Перрона и тем самым, в одномерном случае, покрывает интеграл Лебега.

По причине простоты определения интеграла Хенстока — Курцвейля некоторые преподаватели выступают за то, чтобы ввести его в программу начального курсе математического анализа, но пока эта идея частично реализована лишь на механико-математическом факультете МГУ.

Определение[править | править вики-текст]

Для определения интеграла Курцвейля — Хенстока вводится несколько промежуточных понятий:

  • калибровочная функция — произвольная функция \delta \colon [a, b] \to (0, \infty);
  • оснащённое разбиение P отрезка [a, b] — конечный набор пар \displaystyle(\xi_k, [x_{k-1},x_k]), где a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b и \xi_k \in [x_{k-1}, x_k];
  • оснащённое разбиение P называется \delta-тонким, если \xi_k-\delta(\xi_k) < x_{k-1} \leqslant \xi_k \leqslant x_k < \xi_k + \delta (\xi_k) при всех k от 1 до n;
  • для оснащённого размеченного разбиения P и функции f \colon [a, b] \to \mathbb{R} суммой Римана называется выражение:
     S(P, f) = \sum_{k=1}^n (x_k-x_{k-1}) f(\xi_k) .

Функция f \colon [a, b] \to \mathbb{R} называется интегрируемой по Курцвейлю — Хенстоку на отрезке [a, b], если существует число I (называемое интегралом Курцвейля — Хенстока от функции f на отрезке [a, b]), обладающее следующим свойством: для любого \varepsilon > 0 существует такая калибровочная функция \delta_\varepsilon, что для любого \delta_\varepsilon-тонкого оснащённого разбиения P имеет место неравенство |S(P, f) - I|<\varepsilon.

Существование \delta-тонких оснащённых разбиений для данной калибровочной функции \delta следует из теоремы Кузена (англ. Cousin's theorem).

Интеграл Римана является частным случаем интеграла Курцвейля — Хенстока, в его определении допускаются только постоянные калибровочные функции.

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]