Интеграл Фреше

Интеграл Фреше — интеграл, задаваемый на множестве элементов $F$ произвольной природы.

Для определения интеграла Фреше на множестве $F$ рассматривается некоторое $\sigma$-кольцо множеств $T$ с заданной на нём счётно-аддитивной функцией множества $\Phi (E)$ c вариациями ${\overline {W}}(\Phi ,E)$ и ${\underline {W}}(\Phi ,E)$. Пусть $f(x)$ — неотрицательная действительная функция элемента $x$ пространства $F$. Функция $f(x)$ называется суммируемой относительно $\Phi$ на множестве $E\subset T$, если сходится ряд $\sum _{i}M_{i}W(\Phi ,E_{i})$ при некотором разбиении множества $E$ на непересекающиеся слагаемые $E_{i}$, $E_{i}\subset T$, $M_{i}=\sup _{E_{i}}f$.

Интеграл в смысле Фреше от функции $f(x)$ определяется как разность интегралов относительно ${\overline {W}}(\Phi ,E)$ и ${\underline {W}}(\Phi ,E)$.

Необходимые и достаточные условия существования интеграла Фреше

Для того, чтобы суммируемая функция $f(x)$ была интегрируемой в смысле Фреше, необходимо и достаточно, чтобы при всяком действительном $a$ множество $E_{x}(f(x)>a)$ отличалось от множества из $\sigma$-кольца $T$ на некоторое подмножество множества меры нуль, принадлежащего $\sigma$-кольцу.

Литература

• Песин И. Н. Развитие понятия интеграла. — М.: Наука, 1980. — 202 с.