Интегрирование по частям

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

\int u\,dv=u\,v-\int v\,du

или

\int u\,v'\,dx=u\,v-\int v\,u'\,dx

для определённого:

\int\limits_a^b u\,dv=u\,v\,\bigg|_a^b-\int\limits_a^b v\,du

Предполагается, что нахождение интеграла \int v\, du проще, чем \int u\, dv\,. В противном случае применение метода неоправданно.

Получение формул[править | править вики-текст]

Для неопределённого интеграла[править | править вики-текст]

Функции \textstyle\mathit{u} и \textstyle\mathit{v} гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

d(u\,v) = v\,du+u\,dv

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:

\int d(u\,v) = \int v\,du+\int u\,dv

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

u\,v = \int v\,du+\int u\,dv

После перестановок:

\int u\,dv = u\,v-\int v\,du

Не стоит, однако, забывать, что это равенство подразумевается в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во время интегрирования.

Типичную ошибку «потери» константы при обращении с неопределенным интегралом иллюстрирует следующий пример-софизм:

\int \frac{dx}{x}=\frac{1}{x}\cdot x - \int \frac{-1}{x^2}\cdot x dx=1+\int \frac{dx}{x}

Отсюда «следствие»: 0=1, что очевидно неверно.

Для определённого интеграла[править | править вики-текст]

В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:

d(u\,v)=v\,du+u\,dv
\int\limits_a^b d(u\,v)=\int\limits_a^b v\,du+\int\limits_a^b u\,dv
\int\limits_a^b u\,dv=u\,v\,\bigg|_a^b-\int\limits_a^b v\,du

Данные формулы справедливы, если каждая из функций u и v непрерывно дифференцируемы на области интегрирования.

Примеры[править | править вики-текст]

  • \int x\cos x \,dx = \int x\,d(\sin x) =x\sin x - \int \sin x \,dx= x\sin x + \cos x + C
  • \int e^x\,x\,dx=\int x\,(e^x\,dx)=\int x\,de^x=x\,e^x-\int e^x\,dx=x\,e^x-e^x+C
  • Иногда этот метод применяется несколько раз:
\int x^2\sin x \,dx=\int x^2\,d(-\cos x)=-x^2\cos x-\int -2x\cos x\,dx=
=-x^2\cos x+\int 2x\,d(\sin x)=-x^2\cos x + 2x \sin x - \int 2\sin x \,dx = -x^2\cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C
  • Данный метод также используется для нахождения интегралов от элементарных функций:
\int \ln x\,dx=x\ln x-\int \frac{1}{x}x\,dx=x\ln x-x+C
\int \operatorname{arctg}\,x\,dx=x\,\operatorname{arctg}\,x-\int \frac{x}{1+x^2}\,dx=x\,\operatorname{arctg}\,x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C
  • В некоторых случаях интегрирование по частям не даёт прямого ответа:
I_1=\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx=
=\int e^{\alpha x}\,d\Big(-\frac{1}{\beta}\cos{\beta x}\Big)=-\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+\frac{\alpha}{\beta} \int e^{\alpha x}\,\cos{\beta x}\,dx=-\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\cos{\beta x}+\frac{\alpha}{\beta}\,I_2
I_2=\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=
=\int e^{\alpha x}\,d\Big(\frac{1}{\beta}\sin{\beta x}\Big)=\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-\frac{\alpha}{\beta} \int e^{\alpha x}\,\sin{\beta x}\,dx=\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\sin{\beta x}-\frac{\alpha}{\beta}\,I_1
Таким образом один интеграл выражается через другой:
\begin{cases}
     I_1=-\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\cos{\beta x}+\frac{\alpha}{\beta}\,I_2 \\
     I_2=\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\sin{\beta x}-\frac{\alpha}{\beta}\,I_1
\end{cases}
Решив полученную систему, получаем:
I_1=\frac{e^{\alpha x}}{\alpha^2+\beta^2}\Big(\alpha\sin{\beta x}-\beta\cos{\beta x}\Big)+C
I_2=\frac{e^{\alpha x}}{\alpha^2+\beta^2}\Big(\alpha\cos{\beta x}+\beta\sin{\beta x}\Big)+C

Многомерный случай[править | править вики-текст]

Существует обобщение формулы интегрирования по частям для функций от нескольких переменных. В таком случае вместо интервала рассматривается подмножество \mathbb{R}^n, а вместо производной − частная производная.

Пусть \Omega открытое ограниченное подмножество \mathbb{R}^n с кусочно-гладкой границей \partial\Omega. Если u и v гладкие функции на замыкании \Omega, то


\int_\Omega \frac{\partial u}{\partial x_i} v \,d x = \int_{\partial\Omega} u v n_i \,d\sigma - \int_\Omega u \frac{\partial v}{\partial x_i} \,d x

где \vec n − внешняя нормаль к \partial\Omega, а n_i − ее i-ая координата, i от 1 до n, \sigma - мера на \partial\Omega.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Также см. Математический анализ#Библиография.

Ссылки[править | править вики-текст]