Интегро-дифференциальные уравнения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Интегро-дифференциальные уравнения — класс уравнений, в которых неизвестная функция содержится как под знаком интеграла, так и под знаком дифференциала.

{L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int_{a}^{b}K(x,y,{P}_{m}[\varphi (y)])dy=f(x)

где

{L}_{n}[\varphi (x)]=\frac{{d}^{n}\varphi (x)}{{dx}^{n}}+{a}_{1}(x)\frac{{d}^{n-1}\varphi (x)}{{dx}^{n-1}}+...+{a}_{n}(x)\varphi (x) называется внешним дифференциальным оператором, а
{P}_{m}[\varphi (y)]=\frac{{d}^{m}\varphi (y)}{{dy}^{m}}+{b}_{1}(y)\frac{{d}^{m-1}\varphi (y)}{{dy}^{m-1}}+...+{b}_{m}(y)\varphi (y) — внутренним дифференциальным оператором
K(x,y,{P}_{m}[\varphi (y)]) — ядро интегро-дифференциального уравнения

Некоторые интегро-дифференциальные уравнения можно свести к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве, однако существуют эволюционные интегро-дифференциальные уравнения (встречающиеся в теории упругости и моделях биологических процессов), содержащие интегрирование по времени, для которых это сделать сложно.

Классификация интегро-дифференциальных уравнений[править | править исходный текст]

Линейные интегральные уравнения[править | править исходный текст]

Линейными интегро-дифференциальными уравнениями называется уравнения, в которые внутренний дифференциальный оператор входит линейно:

{L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int_{a}^{b}K(x,y){P}_{m}[\varphi (y)]dy=f(x)

Уравнения Фредгольма[править | править исходный текст]

Линейным интегро-дифференциальным уравнением Фредгольма называется уравнение с постоянными пределами интегрирования

Уравнения Фредгольма 1-рода[править | править исходный текст]

Интегро-дифференциальным уравнением Фредгольма 1-го рода называется уравнение вида:

{L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int_{a}^{b}K(x,y){P}_{m}[\varphi (y)]dy=0
Уравнения Фредгольма 2-рода[править | править исходный текст]

Интегро-дифференциальным уравнением Фредгольма 2-го рода называется уравнение вида:

{L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int_{a}^{b}K(x,y){P}_{m}[\varphi (y)]dy=f(x)

Уравнения Вольтерры[править | править исходный текст]

Линейным интегро-дифференциальным уравнением Вольтерры называется уравнение с переменным верхним пределом интегрирования

Уравнения Вольтерры 1-рода[править | править исходный текст]

Интегро-дифференциальным уравнением Вольтерры 1-го рода называется уравнение вида:

{L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int_{a}^{x}K(x,y){P}_{m}[\varphi (y)]dy=0
Уравнения Вольтерры 2-рода[править | править исходный текст]

Интегро-дифференциальным уравнением Вольтерры 2-го рода называется уравнение вида:

{L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int_{a}^{x}K(x,y){P}_{m}[\varphi (y)]dy=f(x)

Нелинейные интегральные уравнения[править | править исходный текст]

Нелинейным уравнением Фредгольма называется интегро-дифференциальное уравнение в которое внутренний дифференциальный оператор входит нелинейно:

{L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int_{a}^{b}K(x,y,{P}_{m}[\varphi (y)])dy=f(x)

Методы решения интегро-дифференциальных уравнений[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]