Интервалы между простыми числами

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Интервалы между простыми числами — это разности между двумя последовательными простыми числами. n-ый интервал, обозначаемый g_n~, — это разность между n+1-м и n-ым простыми числами, то есть

g_n = p_{n + 1} - p_n.~

Мы имеем: g_1=1, g_2=g_3=2, g_4=4~. Последовательность g_n~ интервалов между простыми хорошо изучена. Иногда рассматривают функцию g(p_n)~ вместо g_n~

Первые 30 интервалов между простыми числами следующие:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14 последовательность A001223 в OEIS.

Простые замечания[править | править вики-текст]

Для любого простого числа P, символом P# мы будем обозначать праймориал P, то есть произведение всех простых чисел, не превосходящих P. Если Q — это простое число, следующее за P, то последовательность

P\#+2, P\#+3,...,P\#+(Q-1)

является последовательностью из Q-2 последовательных составных чисел, поэтому существуют интервалы между простыми длины не меньше, чем Q-1. Следовательно, существуют сколь угодно большие интервалы между простыми числами, и для любого простого P существует n такое, что g_n \geqslant P~ (Очевидно, что для этого мы можем выбрать n таким, что p_n~ будет наибольшим простым числом, не превосходящим P\#+2~.). Другой способ увидеть, что существуют сколь угодно большие интервалы между простыми должны существовать использует тот факт, что множество простых чисел имеет нулевую плотность, согласно теореме о распределении простых чисел.

На самом деле, интервал между простыми величины P может встретиться между простыми, гораздо меньшими, чем P#. Например, самая первая последовательность из 71 последовательных составных чисел находится между 31398 и 31468, в то время как 71# является 27-значным числом.

Уже среднее значение интервалов между простыми растет как натуральный логарифм n.

С другой стороны, гипотеза о простых близнецах утверждает, что g_n=2~ для бесконечно многих n.

Интервалы между простыми могут быть оценены сверху и снизу с помощью функции Якобсталя последовательность A048670 в OEIS

Численные результаты[править | править вики-текст]

На 2009 г. наибольший известный интервал между числами, определенными как вероятно простые, имеет длину 2254930, с 86853-значными вероятно простыми был найден H. Rosenthal и J. K. Andersen.[1] Наибольший известный интервал между простыми числами — это интервал длины 337446, с 7996-значными простыми найден T. Alm, J. K. Andersen и Francois Morain.[2]

Будем говорить, что g_n~ является максимальным интервалом, если для всех k<n~ будет g_k<g_n~.

Первые 75 максимальных интервалов (n не приводится)
От 1 до 25
# gn pn
1 1 2
2 2 3
3 4 7
4 6 23
5 8 89
6 14 113
7 18 523
8 20 887
9 22 1129
10 34 1327
11 36 9551
12 44 15683
13 52 19609
14 72 31397
15 86 155921
16 96 360653
17 112 370261
18 114 492113
19 118 1349533
20 132 1357201
21 148 2010733
22 154 4652353
23 180 17051707
24 210 20831323
25 220 47326693
От 26 до 50
# gn pn
26 222 122164747
27 234 189695659
28 248 191912783
29 250 387096133
30 282 436273009
31 288 1294268491
32 292 1453168141
33 320 2300942549
34 336 3842610773
35 354 4302407359
36 382 10726904659
37 384 20678048297
38 394 22367084959
39 456 25056082087
40 464 42652618343
41 468 127976334671
42 474 182226896239
43 486 241160624143
44 490 297501075799
45 500 303371455241
46 514 304599508537
47 516 416608695821
48 532 461690510011
49 534 614487453523
50 540 738832927927
От 51 до 75
# gn pn
51 582 1346294310749
52 588 1408695493609
53 602 1968188556461
54 652 2614941710599
55 674 7177162611713
56 716 13829048559701
57 766 19581334192423
58 778 42842283925351
59 804 90874329411493
60 806 171231342420521
61 906 218209405436543
62 916 1189459969825483
63 924 1686994940955803
64 1132 1693182318746371
65 1184 43841547845541059
66 1198 55350776431903243
67 1220 80873624627234849
68 1224 203986478517455989
69 1248 218034721194214273
70 1272 305405826521087869
71 1328 352521223451364323
72 1356 401429925999153707
73 1370 418032645936712127
74 1442 804212830686677669
75 1476 1425172824437699411

Наибольшие интервалы первых десяти тысяч[править | править вики-текст]

Уже во второй тысяче имеется интервал, длиной 34 числа, в котором нет простых чисел - (1327-1361). Причём, этот интервал удерживает свой рекорд длины до десятой тысячи. Лишь в девятой тысяче имеется второй интервал такой же длины - (8467-8501), а в десятой - более длинный интервал (36 чисел) - (9551-9587), который и является самым длинным интервалом первых десяти тысяч. Имеется также интервал длиной 32 числа - (5591-5623).

Наибольшие интервалы первых ста тысяч[править | править вики-текст]

В пределах первых ста тысяч имеются следующие интервалы длиной 50 и более чисел, в которых нет ни одного простого числа:

72 числа: 31397-31469

64 числа: 89689-89753

62 числа: 34061-34123

60 чисел: 43331-43391

58 чисел:

44293-44351

58831-58889

79699-79757

85933-85991

56 чисел: 82073-82129

54 числа:

35617-35671

40289-40343

40639-40693

86869-86923

52 числа:

19609-19661

25471-25523

35677-35729

43801-43853

48679-48731

59281-59333

74959-75011

50 чисел:

31907-31957

45893-45943

60539-60589

69263-69313

95651-95701

Некоторые крупные интервалы в пределах первого миллиона[править | править вики-текст]

Вот некоторые (не все) интервалы без простых чисел длиной в 80 и более чисел в пределах первого миллиона:

114 чисел: 492113-492227

112 чисел: 370261-370373

96 чисел: 360653-360749

90 чисел: 576791-576881

86 чисел:

155921-156007

840353-840439

84 числа: 990053-990137

Дальнейшие результаты[править | править вики-текст]

Верхние оценки[править | править вики-текст]

Постулат Бертрана утверждает, что для любого k всегда существует хотя бы одно простое число между k и 2k, поэтому, в частности, p_{n+1}<2p_n~, откуда g_n<p_n~.

Теорема о распределении простых чисел говорит, что «средняя длина» интервалов между простым p и следующим простым числом имеет порядок \ln p~. Фактическая длина интервалов может быть больше или меньше этого значения. Однако, из теоремы о распределении простых чисел можно вывести, верхную оценку для длины интервалов простых чисел: для любого \varepsilon >0~ существует такое N, что для всех n>N~ будет g_n < \varepsilon p_n~.

Hoheisel первым показал[3] что существует такое постоянное \theta <1

\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\ln x}   при   ~x\ \to + \infty~

отсюда следует, что

g_n<p_n^\theta,

для достаточно большого n.

Отсюда следует, что интервалы между простыми становятся сколь угодно меньше по отношению к простым: частное \frac{g_n}{p_n} стремится к нулю при n стремящемся к бесконечности.

Hoheisel получил возможное значение 32999/33000 для \theta. Эта оценка была улучшена до 249/250 Хейлборном,[4] и до \theta = \frac{3}{4} + \varepsilon для любого \varepsilon >0 Чудаковым.[5]

Основное улучшение было получено Ингамом,[6], который показал, что если

\zeta(1/2 + it)=O(t^c)\,

для некоторой константы c>0, где O используется в смысле нотации O большое, то

\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\ln x}

для любого \theta > \frac{1+4c}{2+4c}. Здесь, как обычно, \zeta обозначает дзета функцию Римана, а \pi (x) — функция числа простых чисел не превосходящих x. Известно, что допускается c > \frac{1}{6}, откуда в качестве \theta можно взять любое число, большее \frac{5}{8}. Из результата Ингама сразу следует, что всегда существует простое число между числами n^3 и (n+1)^3 для достаточно больших n. Заметим, что ещё не доказана гипотеза Линделёфа, которая утверждает, что в качестве c может быть выбрано любое положительное число, но из неё следует, что всегда существует простое число междуn^2 and (n+1)^2 для достаточно больших n (см. также Гипотеза Лежандра). Если эта гипотеза верна, то возможно, что необходима ещё более строгая гипотеза Крамера.

Хаксли показал, что можно выбрать \theta = \frac{7}{12}.[7]

Последний результат принадлежит Baker, Harman and Pintz, показавшим, что \theta может быть взято равным 0,525.[8]

В 2005, Daniel Goldston, Janos Pintz и Cem Y?ld?r?m доказали, что

\liminf_{n\to+\infty}\frac{g_n}{\ln p_n}=0

и позже улучшили это[9] до

\liminf_{n\to+\infty}\frac{g_n}{\sqrt{\ln p_n}(\ln \ln p_n)^2}<\infty

В 2013 Чжан Итан представил статью, где доказывается, что[10]

\liminf_{n\to+\infty}g_n<70 000 000

Нижние оценки[править | править вики-текст]

Роберт Ранкин доказал, что существует константа c>0 такая, что неравенство

g_n > \frac{c\ln n\ln\ln n\ln\ln\ln\ln n}{(\ln\ln\ln n)^2}

сохраняется для бесконечно многих значений n. Наилучшее известное значение для c на текущий момент — это c=2e^{\gamma}~, где \gamma~ — постоянная Эйлера-Маскерони.[11] Пауль Эрдёш предложил приз в $5000 за доказательство или опровержение того, что константа c в неравенстве выше может быть сколь угодно большой.[12]

Гипотезы о интервалах между простыми числами[править | править вики-текст]

Primegap function

Здесь возможны ещё лучшие результаты, чем те, которые могут быть получены при предположении истинности гипотезы Римана. Harald Cramer доказал, что если гипотеза Римана верна, то интервалы g(p_n)~ удовлетворяют соотношению

 g(p_n) = O(\sqrt{p_n} \ln p_n),

(здесь используется нотация O большое). Позже он предположил, что интервалы растут гораздо меньше. Грубо говоря, он предположил, что

 g(p_n) = O(\ln ^2 p_n). ~

В данный момент на это указывают численные расчеты. Для более детальной информации см. Гипотеза Крамера.

Гипотеза Андрики утверждает, что

 g(p_n) < 2\sqrt{p_n} + 1.

Это слабое усиление гипотезы Лежандра, которая утверждает, что между любой парой квадратов натуральных чисел существует хотя бы одно простое число.

Интервалы между простыми как арифметическая функция[править | править вики-текст]

Интервал g_n~ между n-ым и n+1-ым простым числом является примером арифметической функции. В таком контексте обычно её обозначают d_n~ и называют разностью между простыми.[12] Разность между простыми не является мультипликативной и не является аддитивной.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Largest known prime gap
  2. A proven prime gap of 337446
  3. Hoheisel, G. (1930). «Primzahlprobleme in der Analysis». Sitzunsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 33: 3–11.
  4. Heilbronn, H. A. (1933). «Uber den Primzahlsatz von Herrn Hoheisel». Mathematische Zeitschrift 36 (1): 394–423. DOI:10.1007/BF01188631.
  5. Tchudakoff, N. G. (1936). «On the difference between two neighboring prime numbers». Math. Sb. 1: 799–814.
  6. Ingham, A. E. (1937). «On the difference between consecutive primes». Quarterly Journal of Mathematics 8 (1): 255–266. DOI:10.1093/qmath/os-8.1.255.
  7. Huxley, M. N. (1972). «On the Difference between Consecutive Primes». Inventiones Mathematicae 15 (2): 164–170. DOI:10.1007/BF01418933.
  8. Baker, R. C. (2001). «The difference between consecutive primes, II». Proceedings of the London Mathematical Society 83 (3): 532–562. DOI:10.1112/plms/83.3.532.
  9. arΧiv0710.2728
  10. Zhang, Yitang. «Bounded gaps between primes». Annals of Mathematics (Princeton University and the Institute for Advanced Study). Проверено May 21, 2013.
  11. Pintz, J. (1997). «Very large gaps between consecutive primes». J. Number Theory 63 (2): 286–301. DOI:10.1006/jnth.1997.2081.
  12. 1 2 Guy R. K. Unsolved problems in number theory. — Third. — New York: Springer, 2004. — P. 31. — ISBN 0387208607.

Ссылки[править | править вики-текст]