Интерференция волн

Картина интерференции двух круговых когерентных волн, в зависимости от длины волны и расстояния между источниками

Интерференция волн — взаимное усиление или ослабление амплитуды двух или нескольких когерентных волн, одновременно распространяющихся в пространстве. Сопровождается чередованием максимумов и минимумов (пучностей) интенсивности в пространстве. Результат интерференции (интерференционная картина) зависит от разности фаз накладывающихся волн.

Интерферировать могут все волны, однако устойчивая интерференционная картина будет наблюдаться только в том случае, если волны имеют одинаковую частоту и колебания в них не ортогональны. Интерференция может быть стационарной и нестационарной. Стационарную интерференционную картину могут давать только полностью когерентные волны. Например, две сферические волны на поверхности воды, распространяющиеся от двух когерентных точечных источников, при интерференции дадут результирующую волну, фронтом которой будет сфера.

При интерференции энергия волн перераспределяется в пространстве. Это не противоречит закону сохранения энергии потому, что в среднем, для большой области пространства, энергия результирующей волны равна сумме энергий интерферирующих волн.

При наложении некогерентных волн средняя величина квадрата амплитуды результирующей волны равна сумме квадратов амплитуд накладывающихся волн. Энергия результирующих колебаний каждой точки среды равна сумме энергий ее колебаний, обусловленных всеми некогерентными волнами в отдельности.

Расчет результата сложения двух сферических волн

Если в некоторой однородной и изотропной среде два точечных источника возбуждают сферические волны, то в произвольной точке пространства M может происходить наложение волн в соответствии с принципом суперпозиции (наложения): каждая точка среды, куда приходят две или несколько волн, принимает участие в колебаниях, вызванных каждой волной в отдельности. Таким образом волны не взаимодействуют друг с другом и распространяются независимо друг от друга.

Две одновременно распространяющиеся синусоидальные сферические волны $s_1\!$ и $s_2\!$, созданные точечными источниками B₁ и B₂, вызовут в точке M колебание, которое, по принципу суперпозиции, описывается формулой $s=s_1+s_2\!$. Согласно формуле сферической волны:

$s_1={A_1 \over r_1}\sin(\omega_1 t - k_1r_1 + \alpha_1)={A_1 \over r_1}\sin \Phi_1$,

$s_2={A_2 \over r_2}\sin(\omega_2 t - k_2r_2 + \alpha_2)={A_2 \over r_2}\sin \Phi_2$,

где

$\Phi_1=\omega_1 t - k_1r_1 + \alpha_1\!$ и $\Phi_2=\omega_2 t - k_2r_2 + \alpha_2\!$ – фазы распространяющихся волн

$k_1\!$ и $k_2\!$ — волновые числа ($k={\omega \over v}={2\pi \over \lambda}$)

$\omega_1\!$ и $\omega_2\!$ — циклические частоты каждой волны

$\alpha_1\!$ и $\alpha_2\!$ — начальные фазы,

$r_1\!$ и $r_2\!$ — расстояния от точки М до точечных источников B₁ и B₂

В результирующей волне $s=s_1+s_2={A \over r}\sin \Phi$, амплитуда ${A \over r}$ и фаза $\Phi\!$ определяются формулами:

${A \over r}=\sqrt{\left({A_1 \over r_1}\right)^2 + \left({A_2 \over r_2}\right)^2 + 2{A_1 \over r_1}{A_2 \over r_2}\cos(\Phi_2-\Phi_1)}$,

$\Phi=\operatorname{arctg}{ {{A_1 \over r_1}\sin\Phi_1 + {A_2 \over r_2}\sin\Phi_2} \over {{A_1 \over r_1}\cos\Phi_1 + {A_2 \over r_2}\cos\Phi_2} }$

Когерентность волн

Волны и возбуждающие их источники называются когерентными, если разность фаз волн $\Phi_2-\Phi_1\!$ не зависит от времени. Волны и возбуждающие их источники называются некогерентными, если разность фаз волн $\Phi_2-\Phi_1\!$ изменяется с течением времени. Формула для разности :

$\Phi_2-\Phi_1=(\omega_1-\omega_2)t-(k_2r_2-k_1r_1)+(\alpha_2-\alpha_1)\!$, где $k_1={\omega_1 \over v}$, $k_2={\omega_2 \over v}$,

$v\!$ – скорость распространения волны, одинаковая для обеих волн в данной среде. В приведенном выше выражении от времени зависит только первый член. Две синусоидальные волны когерентны, если их частоты одинаковы ($\omega_1=\omega_2$), и некогерентны, если их частоты различны.

Для когерентных волн ($\omega_1=\omega_2=\omega$) при условии $\alpha_2-\alpha_1=0$

$\Phi_2-\Phi_1=-{\omega \over v}(r_2-r_1)=-k(r_2-r_1)$,

${A \over r}=\sqrt{\left({A_1 \over r_1}\right)^2 + \left({A_2 \over r_2}\right)^2 + {2A_1A_2 \over r_1r_2}\cos k(r_2-r_1)}$.

Амплитуда результирующих колебаний в любой точке среды не зависит от времени. Косинус равен единице, а амплитуда колебаний в результирующей волне максимальна $\left({A \over r}={A_1 \over r_1}+{A_2 \over r_2} \right)$ во всех точках среды, для которых $k(r_2-r_1)=2m\pi\!$, где $m=0, \pm 1, \pm 2, ...\!$(m-целое) или $r_2-r_1=m\lambda\!$, (так как $k={2\pi \over \lambda}$)

Величина $r_2-r_1=\Delta\!$ называется геометрической разностью хода волн от их источников B₁ и B₂, до рассматриваемой точки среды.

Амплитуда колебаний в результирующей волне минимальна $\left({A \over r}= \begin{vmatrix}{A_1 \over r_1}-{A_2 \over r_2} \end{vmatrix} \right)$ во всех точках среды, для которых

$k(r_2-r_1)=(2m+1)\pi\!$, где $m=0,1, 2,...\!$ (m-натуральное),

или

$\Delta=r_2-r_1=(2m+1){\lambda \over 2}$.

При наложении когерентных волн квадрат амплитуды и энергия результирующей волны отличны от суммы квадратов амплитуд и суммы энергий накладываемых волн.

См. также

• Интерферометр
• Стоячая волна
• Резонанс
• Бегущая волна
• Фигуры Хладни
• Частные случаи интерференции:
  • Интерференция света
  • Бинауральный эффект
  • Биения
  • Муаровый узор
  • Спекл

Интерференции волн от 2 точечных источников. Синий - максимумы, красный/желтый - минимумы

Литература

• Яворский Б. М., Селезнев Ю. А., Справочное руководство по физике., М., Наука., 1984

Ссылки

• Интерференция волн: тематические медиа-файлы на Викискладе
• Демонстрации по интерференции света