Инъекция (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Инъективная функция.

Инъекция в математике — отображение f множества X в множество Y (f\colon X\to Y), при котором разные элементы множества X переводятся в разные элементы множества Y, то есть, если два образа при отображении совпадают, то совпадают и прообразы: f(x)=f(y) \Rightarrow x=y.

Инъекцию также называют вложением или одно-однозначным отображением (в отличие от биекции, которая взаимно-однозначна). В отличие от сюръекции, про которую говорят, что она отображает одно множество на другое, об инъекции f: X \to Y аналогичная фраза формулируется как отображение X в Y.

Инъекцию можно также определить как отображение, для которого существует левое обратное, то есть, f\colon X\to Y инъективно, если существует g\colon Y\to X, при котором g\circ f=\operatorname{id}_X.

Понятие инъекции (наряду с сюръекцией и биекцией) введено в трудах Бурбаки и получило широкое распространение почти во всех разделах математики.

Обобщением понятия инъекции в теории категорий является понятие мономорфизма, во многих категориях эти понятия эквивалентны, однако это выполнено не всегда.

Примеры:

  • f:\R_{>0}\to\R,\;f(x)=\ln x — инъективно.
  • f:\R_+\to\R_+,\;f(x)=x^2 — инъективно.
  • f:\R\to\R,\;f(x)=x^2 — не является инъективным (f(-2)=f(2)=4).

Одним из прикладных примеров применения понятия инъекции является организация связи «один к одному» между сущностями в реляционной модели данных.

Литература[править | править вики-текст]