Итерационная формула Герона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Итерацио́нная фо́рмула Геро́на имеет вид

x_{n+1}=\frac{1}{2}~\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right)\ ,

где a — фиксированное положительное число, а x_1\, — любое положительное число.

Итерационная формула задаёт убывающую (начиная со 2-го элемента) последовательность, которая при любом выборе x_1\, быстро сходится к величине \sqrt{a} (квадратный корень из числа), то есть

\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = \sqrt{a}

Эту формулу можно получить, применяя метод Ньютона к решению уравнения a - x^2 = 0.

Геометрическая интерпретация[править | править вики-текст]

Эта формула имеет простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим прямоугольник с площадью а и стороной x1. Будем производить его итерационное квадрирование. А именно — одну сторону нового прямоугольника сделаем равной среднему арифметическому обеих сторон предыдущего шага. А вторую сторону возьмём такой, чтобы площадь нового прямоугольника снова была равна а. На следующих шагах будем повторять этот же процесс.

Литература[править | править вики-текст]