Итерационная формула Герона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Итерацио́нная фо́рмула Геро́на имеет вид

x_{n+1}=\frac{1}{2}~\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right)\ ,

где a — фиксированное положительное число, а x_1\, — любое положительное число.

Итерационная формула задаёт убывающую (начиная со 2-го элемента) последовательность, которая при любом выборе x_1\, быстро сходится к величине \sqrt{a} (квадратный корень из числа), то есть

\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = \sqrt{a}

Эту формулу можно получить, применяя метод Ньютона к решению уравнения a - x^2 = 0.

Пример[править | править вики-текст]

Попробуем вычислить квадратный корень для 25, используя округления при вычислениях. Пусть нашим первым предположением для значения \sqrt{25} будет значение 3.

n x_n x_{n+1} = \frac{1}{2}~\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right)\ Приблизительное значение x_{n+1}
1 3 \frac{1}{2}~\left(3 + \frac{25}{3}\right)\ \frac{1}{2}~(3 + 8.33) = \frac{1}{2} \cdot 11.33 \approx 5.67
2 5.67 \frac{1}{2}~\left(5.67 + \frac{25}{5.67}\right)\ \frac{1}{2}~(5.67 + 4.41) = \frac{1}{2} \cdot 10.08 = 5.04
3 5.04 \frac{1}{2}~\left(5.04 + \frac{25}{5.04}\right)\ \frac{1}{2}~(5.04 + 4.96) = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5
4 5 \frac{1}{2}~\left(5 + \frac{25}{5}\right)\ \frac{1}{2}~(5 + 5) = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5

Геометрическая интерпретация[править | править вики-текст]

Эта формула имеет простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим прямоугольник с площадью а и стороной x1. Будем производить его итерационное квадрирование. А именно — одну сторону нового прямоугольника сделаем равной среднему арифметическому обеих сторон предыдущего шага. А вторую сторону возьмём такой, чтобы площадь нового прямоугольника снова была равна а. На следующих шагах будем повторять этот же процесс.

Литература[править | править вики-текст]