Каноническое преобразование

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В гамильтоновой механике каноническое преобразование  (также контактные преобразования) — это преобразование канонических переменных и гамильтониана не меняющие общий вид уравнений Гамильтона для любой гамильтоновой системы. Канонические преобразования могут быть введены и в квантовом случае как не меняющие вид уравнений Гейзенберга. Они позволяют свести задачу с определённым гамильтонианом к задаче с более простым гамильтонианом как в классическом, так и в квантовом случае. Канонические преобразования образуют группу.

Определение[править | править вики-текст]

Преобразования

Q_i = Q_i (q_1, \ldots, q_s, p_1, \ldots, p_s, t),
P_i = P_i (q_1, \ldots, q_s, p_1, \ldots, p_s, t),
j = 1, \ldots, s,, где s — число степеней свободы,
\frac{\partial(Q_1, \ldots, Q_s; P_1, \ldots, P_s)}{\partial(q_1, \ldots, q_s; q_1, \ldots, q_s)} \neq 0,

называются каноническими, если это преобразование переводит уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона H:

\dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i},
\dot q_i =~~\frac{\partial H}{\partial p_i},

в уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона \mathcal{H}:

\dot P_i = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial Q_i},
\dot Q_i =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial P_i}.

Переменные Q_i и P_i называются новыми координатами и импульсами, соответственно, а q_i и p_iстарыми координатами и импульсами.

Производящие функции[править | править вики-текст]

Из инвариантности интеграла Пуанкаре-Картана и теореме Ли Хуа-чжуна о его единственности можно получить:

\sum\limits_{i=1}^s P_i dQ_i - \mathcal{H}dt  - c \left( \sum\limits_{i=1}^s p_i dq_i - H dt \right) = - dF,

где постоянную c \neq 0 называют валентностью канонического преобразования, dF — полный дифференциал некоторой функции F(q_1,\ldots,q_s,p_1,\ldots, p_s,t) (предполагается, что P_i и Q_i также выражены через старые переменные). Она называется производящей функцией канонического преобразования. Канонические преобразования взаимнооднозначно определяются производящей функцией и валентностью.

Канонические преобразования для которых c = 1 называется унивалентными. Так как при заданной производящей функции различные c изменяют выражения для новых координат через старые, а также для гамильтониана только на константу, то часто рассматривают только унивалентные канонические преобразования.

Производящая функция часто может быть выражена не через старые координаты и импульсы, а через любые две из четырёх переменных p_i, q_i, Q_i, P_i, причём выбор независим для каждого i = 1, \cdots, s. Удобным оказывается выразить её так, чтобы для каждого i одна переменная был новой, а другая старой. Существует лемма утверждающая, что это можно сделать всегда. Дифференциал функции F имеет явный вид полного дифференциала в том случае, когда она выражена через старые и новые координаты F = F(q,p(q,Q,t),t) = F_1(q,Q,t). При использовании других пар координат удобно перейти к функциям, дифференциал которых будет иметь явный вид полного дифференциала для соответствующих переменных. Для этого нужно сделать преобразования Лежандра исходной функции F. Полученные функции называют производящими функциями канонического преобразования в соответствующих координатах. В случае когда выбор координат одинаков для всех i возможны четыре варианта выбора переменных, соответствующие функции принято обозначать номерами:

F_1(q,Q,t), \; F_2(q,P,t), \; F_3(p,Q,t), \; F_4(p,P,t),

где для простоты введены векторы старых скоростей и импульсов p = (p_1,\cdots, p_2), q = (q_1,\cdots, q_2), аналогично и для новых скоростей и импульсов. О таких производящих функциях говорят как о производящих функциях 1-го, 2-го, 3-го или 4-го типа соответственно.

Производящая функция 1-го типа[править | править вики-текст]

Пусть F_1(q,Q,t) — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

\det \left( \frac{\partial^2 F_1}{\partial q \, \partial Q}\right) \ne 0,

кроме того, задано некоторое число c \neq 0 , тогда пара (F_1, c) задаёт каноническое преобразование по правилу

p = \frac{1}{c}  \frac{\partial F_1}{\partial q},
P = - \frac{\partial F_1}{\partial Q},
\mathcal{H} = c H + \frac{\partial F_1}{\partial t}.

Связь с исходной производящей функцией:

F_1(q,Q,t) = F(q,p(q,Q,t),t).

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если неравен нулю якобиан:

\det \left(\frac{\partial Q}{\partial p} \right) \neq 0.

Канонические преобразования, дополненные этим условием называют свободными.


Производящая функция 2-го типа[править | править вики-текст]

Пусть F_2(q,P,t) — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

\det \left(\frac{\partial^2 F_2}{\partial q \, \partial P}\right) \ne 0.

кроме того, задано некоторое число c \neq 0 , тогда пара (F_2, c) задаёт каноническое преобразование по правилу

p = \frac{1}{c}  \frac{\partial F_2}{\partial q},
Q =   \frac{\partial F_2}{\partial P},
\mathcal{H} = c H + \frac{\partial F_2}{\partial t}.

Связь с исходной производящей функцией:

F_2(q,P,t) = F(q,p(q,P,t),t) + P Q(q,p(q,P,t),t).

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если неравен нулю якобиан:

\det \left(\frac{\partial P}{\partial p} \right) \neq 0.


Производящая функция 3-го типа[править | править вики-текст]

Пусть F_3(p,Q,t) — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

\det \left(\frac{\partial^2 F_3}{\partial p \, \partial Q}\right) \ne 0.

кроме того, задано некоторое число c \neq 0 , тогда пара (F_3, c) задаёт каноническое преобразование по правилу

q = -  \frac{1}{c} \frac{\partial F_3}{\partial p},
P =   -\frac{\partial F_3}{\partial Q},
\mathcal{H} = c H + \frac{\partial F_3}{\partial t}.

Связь с исходной производящей функцией:

F_3(p,Q,t) = F(q(p,Q,t),p,t) - c p q(p,Q,t).

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

\det \left(\frac{\partial Q}{\partial q} \right) \neq 0.


Производящая функция 4-го типа[править | править вики-текст]

Пусть F_4(p,P,t) — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

\det \left(\frac{\partial^2 F_4}{\partial p \, \partial P}\right) \ne 0.

кроме того, задано некоторое число c \neq 0 , тогда пара (F_4, c) задаёт каноническое преобразование по правилу

q = -  \frac{1}{c} \frac{\partial F_4}{\partial p},
Q = \frac{\partial F_4}{\partial P},
\mathcal{H} = c H + \frac{\partial F_4}{\partial t}.

Связь с исходной производящей функцией:

F_4(p,P,t) = F(q(p,P,t),p,t)+ P Q(q(p,P,t),p,t) - c p q(p,P,t).

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если неравен нулю якобиан:

\det \left(\frac{\partial P}{\partial q} \right) \neq 0.

Примеры[править | править вики-текст]

1. Тождественное преобразование

Q = q,
P = p,
\mathcal{H} = H

может быть получено при:

F_2 = q P, \quad c=1.

2. Если задать

F_1 = - \alpha q P, \quad c=-\alpha \beta,

то полученное преобразование будет иметь вид:

Q = \alpha p,
P = \beta q.
\mathcal{H} = - \alpha \beta H

Таким образом, разделение канонических переменных на координаты и импульсы с математической точки зрения является условным.

3. Преобразование инверсии

Q = -q,
P = -p,
\mathcal{H} = H

может быть получено при:

F_2 = -q P, \quad c=1.

4. Точечные преобразования (преобразования при которых новые координаты выражаются только через старые координаты и время, но не старые импульсы.)

Они всегда могут быть заданы с помощью:

F_2 = \varphi(q,t) P, \quad c=1,

тогда

Q = \varphi(q,t).

В частности, если

F_2 = ( A q, P), \quad c=1,

где A,ортогональная матрица:

A^T A = E,

то

Q = A q,
P = A^T p.

К точечным преобразования приводит и функция:

F_3 = \phi(Q,t) p, \quad c=1,

тогда

q = -\phi(Q,t).

В частности функция

F_3 = -p_x \rho \cos \varphi - p_y \rho \sin \phi - p_z z, \quad c=1,

задаёт переход от декартовых координат к цилиндрическим.

5. Линейные преобразования переменных (p,q) системы с одной степенью свободы:

 Q = \alpha q + \beta p
 P = \gamma q + \delta p

является унивалентным каноническим преобразованием при

 \alpha \delta - \beta \gamma = 1,

производящая функция:

 F = -\beta \gamma p q - \frac{1}{2} \alpha \gamma q^2 - \frac{1}{2} \beta \delta p^2.

Такие преобразования образуют специальную линейную группу SL(2,\mathbb R).

Действие как производящая функция[править | править вики-текст]

Действие, выраженное как функция координат и импульсов конечной точки

\mathcal{S} = \int p dq - H dt

задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы.

Скобки Пуассона и Лагранжа[править | править вики-текст]

Необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Пуассона:

\lbrace P_i (q,p,t), P_k (q,p,t) \rbrace =0,
\lbrace Q_i (q,p,t), Q_k (q,p,t) \rbrace =0,
\lbrace Q_i (q,p,t), P_k (q,p,t) \rbrace = c \delta_{ik}.

Кроме того, необходимым и достаточным условием каноничности преобразования является выполнение для произвольных функций f(Q,P,t) и g(Q,P,t) условия:

\lbrace f, g \rbrace_{p q} = c \lbrace f, g \rbrace_{P Q},

где под \lbrace \cdot, \cdot \rbrace_{p q} и \lbrace \cdot, \cdot \rbrace_{P Q} понимаются скобки Пуассона по старым и новым координатам соответственно.

В случае унивалентных канонических преобразований:

\lbrace f, g \rbrace_{p q} =\lbrace f, g \rbrace_{P Q}

и говорят, что скобки Пуассона инвариантны относительно таких преобразований. Иногда канонические преобразования так определяют (при этом каноническими преобразованиями считают только унивалентные).

Аналогично, необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Лагранжа:

[ p_i, p_k] =0,
[q_i, q_k ]=0,
[q_i, p_k]= c \delta_{ik}.


Литература[править | править вики-текст]