Каноническое преобразование

В гамильтоновой механике каноническое преобразование  (также контактные преобразвания) — это преобразование канонических переменных и гамильтониана не меняющие общий вид уравнений Гамильтона для любой гамильтоновой системы. Канонические преобразования могут быть введены и в квантовом случае как не меняющие вид уравнений Гейзенберга. Они позволяют свести задачу с определённым гамильтонианом к задаче с более простым гамильтонианом как в классическом, так и в квантовом случае. Канонические преобразования образуют группу.

Определение

Преобразования

$Q_i = Q_i (q_1, \ldots, q_s, p_1, \ldots, p_s, t),$

$P_i = P_i (q_1, \ldots, q_s, p_1, \ldots, p_s, t),$

$j = 1, \ldots, s,$, где $s$ — число степеней свободы,

$\frac{\partial(Q_1, \ldots, Q_s; P_1, \ldots, P_s)}{\partial(q_1, \ldots, q_s; q_1, \ldots, q_s)} \neq 0,$

называются каноническими, если это преобразование переводит уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона $H$:

$\dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i},$

$\dot q_i =~~\frac{\partial H}{\partial p_i},$

в уравнений Гамильтона с функцией Гамилтона $\mathcal{H}$:

$\dot P_i = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial Q_i},$

$\dot Q_i =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial P_i}.$

Переменные $Q_i$ и $P_i$ новыми координатами и импульсами, соответственно, а $q_i$ и $p_i$ — старыми координатами и импульсами.

Производящие функции

Из инвариантности интеграла Пуанкаре-Картана и теореме Ли Хуа-чжуна о его еднственности можно получить:

$\sum\limits_{i=1}^s P_i dQ_i - \mathcal{H}dt - c \left( \sum\limits_{i=1}^s p_i dq_i - H dt \right) = - dF,$

где постоянную $c \neq 0$ называют валентностью канонического преобразования, $dF$ — полный дифференциал некоторой функции $F(q_1,\ldots,q_s,p_1,\ldots, p_s,t)$ (предполагается, что $P_i$ и $Q_i$ также выражены через старые переменные). Она называется производящей функцией канонического преобразования. Канонические преобразования взаимнооднозначно определяются производящей функцией и валентностью.

Канонические преобразования для которых $c = 1$ называется унивалентными. Так как при заданной производящей функции различные $c$ изменяют выражения для новых координат через старые, а также для гамильтониана только на константу, то часто рассматривают только унивалентные канонические преобразования.

Производящая функция часто может быть выражена не через старые координаты и импульсы, а через любые две из четырёх переменных $p_i, q_i, Q_i, P_i$, причём выбор независим для каждого $i = 1, \cdots, s$. Удобным оказывается выразить её так, чтобы для каждого $i$ одна переменная был новой, а другая старой. Существует лемма утверждающая, что это можно сделать всегда. Дифференциал функции $F$ имеет явный вид полного дифференциала в том случае, когда она выражена через старые и новые координаты $F = F(q,p(q,Q,t),t) = F_1(q,Q,t)$. При использовании других пар координат удобно перейти к функциям, дифференциал которых будет иметь явный вид полного дифференциала для соответствующих переменных. Для этого нужно сделать преобразования Лежандра исходной функции $F$. Полученные функции называют производящими функциями канонического преобразования в соответствующих координатах. В случае когда выбор координат одинаков для всех $i$ возможны четыре варианта выбора переменных, соответствующие функции принято обозначать номерами:

$F_1(q,Q,t), \; F_2(q,P,t), \; F_3(p,Q,t), \; F_4(p,P,t),$

где для простоты введены векторы старых скоростей и импульсов $p = (p_1,\cdots, p_2)$, $q = (q_1,\cdots, q_2)$, аналогично и для новых скоростей и импульсов. О таких производящих функциях говорят как о производящих функциях 1-го, 2-го, 3-го или 4-го типа соответственно.

Производящая функция 1-го типа

Пусть $F_1(q,Q,t)$ — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

$\det \left( \frac{\partial^2 F_1}{\partial q \, \partial Q}\right) \ne 0,$

кроме того, задано некоторое число $c \neq 0$, тогда пара $(F_1, c)$ задаёт каноническое преобразование по правилу

$p = \frac{1}{c} \frac{\partial F_1}{\partial q},$

$P = - \frac{\partial F_1}{\partial Q},$

$\mathcal{H} = c H + \frac{\partial F_1}{\partial t}.$

Связь с исходной производящей функцией:

$F_1(q,Q,t) = F(q,p(q,Q,t),t).$

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если неравен нулю якобиан:

$\det \left(\frac{\partial Q}{\partial p} \right) \neq 0.$

Канонические преобразования, дополненные этим условием называют свободными.

Производящая функция 2-го типа

Пусть $F_2(q,P,t)$ — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

$\det \left(\frac{\partial^2 F_2}{\partial q \, \partial P}\right) \ne 0.$

кроме того, задано некоторое число $c \neq 0$, тогда пара $(F_2, c)$ задаёт каноническое преобразование по правилу

$p = \frac{1}{c} \frac{\partial F_2}{\partial q},$

$Q = \frac{\partial F_2}{\partial P},$

$\mathcal{H} = c H + \frac{\partial F_2}{\partial t}.$

Связь с исходной производящей функцией:

$F_2(q,P,t) = F(q,p(q,P,t),t) + P Q(q,p(q,P,t),t).$

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если неравен нулю якобиан:

$\det \left(\frac{\partial P}{\partial p} \right) \neq 0.$

Производящая функция 3-го типа

Пусть $F_3(p,Q,t)$ — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

$\det \left(\frac{\partial^2 F_3}{\partial p \, \partial Q}\right) \ne 0.$

кроме того, задано некоторое число $c \neq 0$, тогда пара $(F_3, c)$ задаёт каноническое преобразование по правилу

$q = - \frac{1}{c} \frac{\partial F_3}{\partial p},$

$P = -\frac{\partial F_3}{\partial Q},$

$\mathcal{H} = c H + \frac{\partial F_3}{\partial t}.$

Связь с исходной производящей функцией:

$F_3(p,Q,t) = F(q(p,Q,t),p,t) - c p q(p,Q,t).$

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если неравен нулю якобиан:

$\det \left(\frac{\partial Q}{\partial q} \right) \neq 0.$

Производящая функция 4-го типа

Пусть $F_4(p,P,t)$ — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

$\det \left(\frac{\partial^2 F_4}{\partial p \, \partial P}\right) \ne 0.$

кроме того, задано некоторое число $c \neq 0$, тогда пара $(F_4, c)$ задаёт каноническое преобразование по правилу

$q = - \frac{1}{c} \frac{\partial F_4}{\partial p},$

$Q = \frac{\partial F_4}{\partial P},$

$\mathcal{H} = c H + \frac{\partial F_4}{\partial t}.$

Связь с исходной производящей функцией:

$F_4(p,P,t) = F(q(p,P,t),p,t)+ P Q(q(p,P,t),p,t) - c p q(p,P,t).$

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если неравен нулю якобиан:

$\det \left(\frac{\partial P}{\partial q} \right) \neq 0.$

Примеры

1. Тождественное преобразование

$Q = q,$

$P = p,$

$\mathcal{H} = H$

может быть получено при:

$F_2 = q P, \quad c=1.$

2. Если задать

$F_1 = - \alpha q P, \quad c=-\alpha \beta,$

то полученное преобразование будет иметь вид:

$Q = \alpha p,$

$P = \beta q.$

$\mathcal{H} = - \alpha \beta H$

Таким образом, разделение канонических переменных на координаты и импульсы с математической точки зрения является условным.

3. Преобразование инверсии

$Q = -q,$

$P = -p,$

$\mathcal{H} = H$

может быть получено при:

$F_2 = -q P, \quad c=1.$

4. Точечные преобразования (преобразования при которых новые координаты выражаются только через старые координаты и время, но не старые импульсы.)

Они всегда могут быть заданы с помощью:

$F_2 = \varphi(q,t) P, \quad c=1,$

тогда

$Q = \varphi(q,t).$

В частности, если

$F_2 = ( A q, P), \quad c=1,$

где $A,$ — ортогональная матрица:

$A^T A = E,$

то

$Q = A q,$

$P = A p.$

К точечным преобразования приводит и функция:

$F_3 = \phi(Q,t) p, \quad c=1,$

тогда

$q = -\phi(Q,t).$

В частности функция

$F_3 = -p_x \rho \cos \varphi - p_y \rho \sin \phi - p_z z, \quad c=1,$

задаёт переход от декартовых координат к цилиндрическим.

5. Линейные преобразования переменных $(p,q)$ системы с одной степенью свободы:

$Q = \alpha q + \beta p$

$P = \gamma q + \delta p$

является унивалентным каноническим преобразованием при

$\alpha \delta - \beta \gamma = 1,$

производящая функция:

$F = -\beta \gamma p q - \frac{1}{2} \alpha \gamma q^2 - \frac{1}{2} \beta \delta p^2.$

Такие преобразования образуют специальную линейную группу $SL(2,\mathbb R)$.

Действие как производящая функция

Действие, выраженное как функция координат и импульсов конечной точки

$\mathcal{S} = \int p dq - H dt$

задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы.

Скобки Пуассона и Лагранжа

Необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Пуассона:

$\lbrace P_i (q,p,t), P_k (q,p,t) \rbrace =0,$

$\lbrace Q_i (q,p,t), Q_k (q,p,t) \rbrace =0,$

$\lbrace Q_i (q,p,t), P_k (q,p,t) \rbrace = c \delta_{ik}.$

Кроме того, необходимым и достаточным условием каноничности преобразования является выполнение для произвольных функций $f(Q,P,t)$ и $g(Q,P,t)$ условия:

$\lbrace f, g \rbrace_{p q} = c \lbrace f, g \rbrace_{P Q},$

где под $\lbrace \cdot, \cdot \rbrace_{p q}$ и $\lbrace \cdot, \cdot \rbrace_{P Q}$ понимаются скобки Пуассона по старым и новым координатам соответственно.

В случае унивалентных канонических преобразований:

$\lbrace f, g \rbrace_{p q} =\lbrace f, g \rbrace_{P Q}$

и говорят, что скобки Пуассона инвариантны относительно таких преобразований. Иногда канонические преобразования так определяют (при этом каноническими преобразованиями считают только унивалентные).

Аналогично, необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Лагранжа:

$[ p_i, p_k] =0,$

$[q_i, q_k ]=0,$

$[q_i, p_k]= c \delta_{ik}.$

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5
  Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ
• Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. §46. Канонические преобразования. Глава VII. Канонические уравнения. // Механика. — 5-е изд., стереотипное. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 224 с. — 3000 экз. — ISBN 5-9221-0055-6 Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ
• Гантмахер Ф. Р.  Лекции по аналитической механике. 3-е изд. — М.: Физматлит, 2005. — 264 с. — ISBN 5-9221-0067-X.
• Ольховский И. И.  Курс теоретической механики для физиков. 4-е изд. — Спб.: Лань, 2009. — 576 с. — ISBN 978-5-8114-0857-3.