Канторова лестница

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Канторова лестница

Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции [0,1]\to [0,1], которая не является константой, но при этом имеет производную, равную нулю в почти всех точках (сингулярной функции). Иногда называется «Чёртовой лестницей».[1]

Построения[править | править вики-текст]

Стандартное[править | править вики-текст]

В точках 0 и 1 значение функции принимается равным соответственно 0 и 1. Далее интервал (0, 1) разбивается на три равные части \left(0,\frac{1}{3}\right), \left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right) и \left(\frac{2}{3},1\right). На среднем сегменте полагаем F(x) = \frac{1}{2}. Оставшиеся два сегмента снова разбиваются на три равные части каждый, и на средних сегментах F(x) полагается равной \frac{1}{4} и \frac{3}{4}. Каждый из оставшихся сегментов снова делится на три части, и на внутренних сегментах F(x) определяется как постоянная, равная среднему арифметическому между соседними, уже определенными значениями F(x). На остальных точках единичного отрезка определяется по непрерывности. Полученная функция называется канторовой лестницей.

По двоичной и троичной записи[править | править вики-текст]

Любое число x\in[0,1] можно представить в троичной системе счисления x=(0{,}a_1a_2\dots)_3, a_i\in\{0,1,2\}. Если в записи 0{,}a_1a_2\dots встречается 1, выбросим из неё все последующие цифры и в оставшейся последовательности заменим каждую двойку на 1. Получившаяся последовательность 0{,}b_1b_2\dots даёт запись значения канторовой лестницы в точке x в двоичной системе счисления.

Свойства[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Weisstein, Eric W. Devil's Staircase (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.