Кардиоида

Построение кардиоиды

Кардио́ида (греч. καρδία — сердце, греч. εἶδος — вид) — плоская линия, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом. Получила своё название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца.

Кардиоида является частным случаем улитки Паскаля, эпициклоиды и синусоидальной спирали.

Уравнения

Пусть $a$ - радиус окружностей, начало координат находится в конечной точке горизонтального диаметра неподвижной окружности. Тогда уравнения кардиоиды можно записать в следующих формах.

• В прямоугольных координатах:

  $(x^2 + y^2 + 2 a x)^2 - 4 a^2 (x^2 + y^2) \, = \, 0$

• В прямоугольных координатах (параметрическая запись):

  $x = 2 a \cos t - a \cos 2 t$

  $y = 2 a \sin t - a \sin 2 t$

• В полярных координатах:

  $r = 2a (1 + \cos\varphi)$

Свойства

• Кардиоида — алгебраическая кривая четвёртого порядка.
• Кардиоида имеет один касп.
• Длина дуги одного витка кардиоиды, заданной формулой:

  $r = a (1 - \cos\varphi)$

равна:

$s = {8a}$.

• Площадь фигуры, ограниченной кардиоидой, заданной формулой:

  $r = a (1 - \cos\varphi)$

равна:

$S = {3\over 2} \pi a^2$.

История

Кардиоида впервые встречается в трудах французского учёного Луи Карре (Louis Carrè, 1705 г.). Название кривой дал Джованни Сальвемини ди Кастиллоне (Giovanni Salvemini di Castiglione, упоминается также как Johann Francesco Melchiore Salvemini Castillon) в 1741 г.

«Спрямление», то есть вычисление длины кривой, выполнил Ла Ир (Philippe de La Hire), который открыл кривую независимо, в 1708 г. Также независимо описал кардиоиду голландский математик Й. Коерсма (J. Koersma, 1741 г.). В дальнейшем к кривой проявляли интерес многие видные математики XVIII-XIX веков.

См. также

• Пространственная кардиоида
• Стержень Витгенштейна

Литература

• Савелов А. А. Плоские кривые. М., 1960.