Атлас (топология)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Карта и атлас»)
Перейти к: навигация, поиск

Атлас — понятие дифференциальной геометрии, позволяющие вводить на многообразии дополнительные структуры; например гладкую структуру или комплексную структуру.

Атлас состоит из отдельных карт, которые описывают отдельные области многообразия. Если под многообразием понимать поверхность Земли, то слова карта и атлас приобретают свои обычные значения.

Определения[править | править вики-текст]

Пусть K — числовое поле (например \mathbb{R} или \mathbb{C}), Xтопологическое пространство.

  • Карта — это пара (U,f), где
Uоткрытое множество в X
fгомеоморфизм из U в открытое множество в K^n
  • Локальная карта вводит в U криволинейные координаты, сопоставляя точке x=f(t) набор чисел t=(t^1,...,t^n)
  • Если области определения двух карт (U_1,f_1) и (U_2,f_2) пересекаются (U_1 \cap U_2 \neq \emptyset), то между множествами f_1^{-1}(U_2) и f_2^{-1}(U_1) имеются взаимно обратные отображения (гомеоморфизмы), называемые функциями сличения или отображением склейки :
    
\begin{matrix}
f_{12}= f_1\circ f_2^{-1}|_{f_2(U_1 \cap U_2)} &: \ f_2(U_1 \cap U_2) \to f_1(U_1 \cap U_2) \\
f_{21}= f_2\circ f_1^{-1}|_{f_1(U_1 \cap U_2)} &: \ f_1(U_1 \cap U_2) \to f_2(U_1 \cap U_2)
\end{matrix}
  • Атлас — это множество согласованных карт \{(U_\alpha,f_\alpha)\}, \alpha\in\mathcal A, такое, что \{U_\alpha\} образует покрытие пространства X. Здесь \mathcal A — некоторое множество индексов. При этом атлас называется гладким (класса C^k) или аналитическим, если функции замены координат f_{\alpha_1\alpha_2} для всех карт гладкие (класса C^k) или аналитические.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Два гладких (аналитических) атласа называются согласованными, если их объединение также является гладким (аналитическим) атласом.