Касательное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Касательное пространство \scriptstyle T_xM и касательный вектор \scriptstyle v\in T_xM, вдоль кривой \scriptstyle \gamma (t), проходящей через точку \scriptstyle x\in M

Касательное пространство к гладкому многообразию M в точке x — совокупность касательных векторов с введённой на ней естественной структурой векторного пространства. Касательное пространство к M в точке x обычно обозначается T_xM или — когда очевидно, о каком многообразии идёт речь — просто T_x.

Совокупность касательных пространств во всех точках многообразия (вместе с самим многообразием) образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением. Соответственно, каждое касательное пространство есть слой касательного расслоения.

Касательное пространство в точке p к подмногообразию определяется аналогично.

В простейшем случае, когда гладкое многообразие гладко вложено в векторное пространство (что возможно всегда, согласно Теореме Уитни о вложении), каждое касательное пространство можно естественно отождествить с некоторым афинным подпространством объемлющего векторного пространства.

Определения[править | править вики-текст]

Есть два стандартных определения касательного пространства: через класс эквивалентости гладких кривых и через дифференцирование в точке. Первое интуитивно проще, но на этом пути возникает ряд технических сложностей. Второе является наиболее простым, хотя уровень абстракции в нём выше. Второе определение также легче применять на практике.

Как класс эквивалентости гладких кривых[править | править вики-текст]

Пусть M — гладкое многообразие и p \in M. Рассмотрим класс \Gamma_p гладких кривых \gamma\colon\mathbb I\to M таких, что \gamma(0)=p. Введём на \Gamma_p отношение эквивалентости: \gamma_1\sim\gamma_2 если

|\gamma_1(t)-\gamma_2(t)|=o(t)

в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей p.

Элементы касательного пространства T_p определяются как \sim-классы эквивалентности \Gamma_p; то есть

T_p=\Gamma_p/\sim.

В карте такой, что p соответствует началу коодинат, кривые из \Gamma_p можно складывать и умножать на число следующим образом

(\gamma_1+\gamma_2)(t)=\gamma_1(t)+\gamma_2(t)
(k\cdot\gamma)(t)=\gamma(k\cdot t)

При этом результат остаётся в \Gamma_p.

Эти операции продолжаются до классов эквивалентности T_p=\Gamma_p/\sim. Более того, индуцированные на T_p операции уже не зависят от выбора карты. Так на T_p определяется структура векторного пространства.

Через дифференцирование в точке[править | править вики-текст]

Пусть MC^\infty-гладкое многообразие. Тогда касательным к многообразию M в точке p \in M называется пространство дифференцирований в этой точке, то есть пространство операторов X, сопоставляющих каждой гладкой функции f:M\to \R число Xf и обладающих следующими свойствами:

На множестве всех дифференцирований в точке p возникает естественная структура линейного пространства:

  • (X+Y)f=Xf+Yf;
    (k\cdot X)f=k\cdot(Xf).

Замечания[править | править вики-текст]

  • В случае C^k-гладких многообразий, в определении через дифференцирование следует добавить ещё одно свойство
    Xf=0 если f(q)=o(|p-q|)
в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей p.
  • В противном случае это определение даст бесконечномерное пространство, включающее касательное пространство. Это пространство иногда называется алгебраическим касательным пространством. См. ниже.
  • Пусть \gamma\in\Gamma_p. Тогда правило Лейбница и свойство адитивности для оператора выполняются для Xf=(f\circ \gamma)'(0). Это позволяет идентифицировать касательные пространства получаемые в первом и во втором определениях.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Касательное пространство n-мерного гладкого многообразия является n-мерным векторным пространством
  • Для выбранной локальной карты x_1,\dots, x_n, операторы X_i дифференцирования по x_i:
    X_if=\frac {\partial f}{\partial x_i}(p)
представляют собой базис T_p, называемый голономным базисом.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Контактным элементом к многообразию в некоторой точке называется любая гиперплоскость касательного пространства в этой точке.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Алгебраическое касательное пространство[править | править вики-текст]

Алгебраическое касательное пространство возникает, когда мы в определении касательного вектора отказываемся от дополнительного требования, озвученного в замечании выше (что, впрочем, имеет значение только для C^k-дифференцируемых многообразий, k < \infty). Оно обобщается на любое локально окольцованное пространство.

Пусть MC^k-дифференцируемое многообразие, C^k(M)кольцо дифференцируемых функций из M в \mathbb{R}. Рассмотрим кольцо C^k_x ростков функций в точке x \in M и каноническую проекцию [-]_x: C^k(M) \to C^k_x. Обозначим через \mathfrak{m}_x ядро гомоморфизма колец [f]_x \mapsto f(x). Введем на C^k_x структуру вещественной алгебры с помощью инъективного гомоморфизма i: \mathbb{R} \to C^k_x, i(a) = [\mathrm{const}_a]_x и будем далее отождествлять \mathbb{R} и i(\mathbb{R}). Имеет место равенство C^k_x = \mathbb{R} \oplus \mathfrak{m}_k.[1] Обозначим через C^k_{x,0} подалгебру C^k_x, состояющую из всех ростков, представители которых имеют нулевые дифференциалы в точке x в каждой карте; обозначим C^k_{x,d} = \mathbb{R} \oplus \mathfrak{m}_x^2. Заметим, что C^k_{x,d} \subset C^k_{x,0}.

Рассмотрим два векторных пространства:

  • T_x M := (C^k_x / C^k_{x,0})^* — это пространство имеет размерность \operatorname{dim}M и совпадает с определенным ранее касательным пространством к M в точке x,
  • (C^k_x / C^k_{x,d})^* \cong (\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2)^* — это пространство изоморфно пространству дифференцирований C^k_x = \mathbb{R} \oplus \mathfrak{m}_x со значениями в \mathbb{R} \subset C^k_x, его называют алгебраическим касательным пространством[2] M в точке x.

Если k < \infty, то \mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2 имеет размерность континуум, а (\mathfrak{m}_x / \mathfrak{m}_x^2)^* содержит T_x M как нетривиальное подпространство; в случае k = \infty или k = \omega эти пространства совпадают (и C^k_{x,0} = C^k_{x,d}).[3] В обоих случаях T_x M можно отождествлять с (под)пространством дифференцирований C^k_x со значениями в \mathbb{R}, для вектора X \in T_x M формула X(f) = X([f]_x) задает инъективный гомоморфизм T_x M в пространство дифференцирований C^k(M) со значениями в \mathbb{R} (структура вещественной алгебры на C^k(M) задается аналогично C^k_x). При этом в случае k = \infty получается в точности определение, данное выше.

Сходное построение можно провести для произвольных алгебраических многообразий (не обязательно дифференцируемых), см. статью Касательное пространство Зарисского.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Ж.-П. Серр, Алгебры Ли и Группы Ли, М.: Мир, 1969.
  2. Laird E. Taylor, The Tangent Space to a C^k Manifold, Bulletin of AMS, vol. 79, no. 4, July 1973.
  3. JE Marsden, T Ratiu, R Abraham, Manifolds, Tensor Analysis, and Applications, Addison-Wesley Pub. Co., 1983.