Касательный вектор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Касательный вектор к кривой[править | править исходный текст]

  • Пусть функция f\colon U(x_0) \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} определена в некоторой окрестности точки x_0\in \mathbb{R} и дифференцируема в ней: f \in \mathcal{D}(x_0). Касательным вектором к графику функции f в точке x_0 называется вектор с компонентами
    \vec e = \frac{1}{\sqrt{1+f'(x_0)^2}} \cdot \vec e_x + \frac{f'(x_0)}{\sqrt{1+f'(x_0)^2}} \cdot \vec e_y.
  • Если функция f имеет в точке x_0 бесконечную производную f'(x_0) = \pm \infty, то касательный вектор
    \vec e = \vec e_y.

Общее определение[править | править исходный текст]

Касательным вектором к гладкому многообразию M в точке p \in M называется оператор X, сопоставляющий каждой гладкой функции f\colon M\to \R число X f и обладающий следующими свойствами:

Множество всех таких операторов в точке p имеет естественную структуру линейного пространства, именно:

(X+Y)f=Xf+Yf;
(k\cdot X)f=k\cdot(Xf), \ \forall k \in \R.

Совокупность всех касательных векторов в точке p образует векторное пространство, которое называется касательным пространством в точке p. Совокупность всех касательных векторов во всех точках многообразия образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением.

Касательный вектор как класс эквивалентности путей[править | править исходный текст]

Понятие касательного вектора к многообразию в точке обобщает понятие касательного вектора к гладкому пути в пространстве Rn. Пусть в Rn задан гладкий путь \mathbf{f}\colon[0,1]\rightarrow\mathbb{R}^n:

\mathbf{f}(t) = f_1(t)\mathbf{e}_1 + f_2(t)\mathbf{e}_2 + \dots + f_n(t)\mathbf{e}_n.

Тогда существует единственный прямолинейный и равномерный путь \mathbf{l}(t), который его касается в момент времени t0:

\mathbf{l}(t) = \mathbf{f}(t_0) + (t-t_0)\left({\partial f_1 \over \partial x_1}(t_0) \mathbf{e}_1 + {\partial f_2 \over \partial x_2}(t_0)\mathbf{e}_2 + \dots + {\partial f_n \over \partial x_n}(t_0)\mathbf{e}_n\right).

Касание двух путей \mathbf{f}_1(t) и \mathbf{f}_2(t) означает, что \mathbf{f}_1(t)-\mathbf{f}_2(t)=o(t-t_0); отношения касания путей в точке есть отношение эквивалентности. Kасательный вектор в точке x0 можно определить как класс эквивалентности всех гладких путей, проходящих через точку x0 в один и тот же момент времени, и касающихся друг с другом в этой точке.

Касательный вектор к подмногообразию[править | править исходный текст]

Касательный вектор в точке p гладкого подмногообразия M евклидова пространствавектор скорости в точке p некоторой кривой в M.

Иначе говоря, касательный вектор в точке p подмногообразия, локально заданного параметрически

r\colon\R^m\to \R^n с p=r(0)\ ,

есть произвольная линейная комбинация частных производных \frac{\partial r}{\partial x_i}(0).

Замечания[править | править исходный текст]

  • Для этого определения касательного вектора достаточно, чтобы подмногообразие было класса гладкости C^1.
  • Согласно теореме Уитни о вложении, любое гладкое n-мерное многообразие допускает вложение в \R^{2n}. По этому, не нарушая строгость, можно использовать данное определение для любого гладкого многообразия. Разумется при этом придётся доказывать независимость определения от вложения.

Литература[править | править исходный текст]

  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — 2е. — М.: Наука, 1986. — 760 с.
  • Зорич В. А. Математический анализ, Т. 1,2. — М.: Наука, 1981.
  • Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.