Категория запятой

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории категорий, категория запятой — специальная конструкция, предосталяющая способ изучения морфизмов не как соотнесений объектов категории друг с другом, а как самостоятельных объектов. Название «категория запятой» появилось из-за первоначального (придуманного Ловером) обозначения, которое включало в себя знак запятой. Впоследствии стандартное обозначение изменилось из соображений удобства.

Определение[править | править вики-текст]

Общий случай[править | править вики-текст]

Пусть \mathcal{A}, \mathcal{B} и \mathcal{C} — категории, а S и T — функторы

\mathcal A \xrightarrow{\;\; S\;\;} \mathcal C\xleftarrow{\;\; T\;\;} \mathcal B

Категорию запятой (S \downarrow T) можно построить следующим образом:

  • Объекты — все тройки вида (\alpha, \beta, f), где \alpha — объект \mathcal{A}, \beta — объект \mathcal{B}, и f : S(\alpha)\rightarrow T(\beta) — морфизм в \mathcal{C}.
  • Морфизмы из (\alpha, \beta, f) в (\alpha', \beta', f') — все пары (g, h), где g : \alpha \rightarrow \alpha', h : \beta \rightarrow \beta' — морфизмы в \mathcal A и \mathcal B соответственно, такие что следующая диаграмма коммутирует:

\begin{matrix} S(\alpha) & \xrightarrow{S(g)} & S(\alpha')\\ f \Bigg\downarrow & & \Bigg\downarrow f'\\ T(\beta) & \xrightarrow[T(h)]{} & T(\beta') \end{matrix}

Композиция морфизмов (g, h) \circ (g', h') берется как (g \circ g', h \circ h'), если последнее выражение определено. Тождественный морфизм объекта (\alpha, \beta, f) — это (\mathrm{id}_{\alpha}, \mathrm{id}_{\beta}).

Два частных случая[править | править вики-текст]

Рассмотрим два частных случая, которые более просты и встречаются очень часто.

Первый случай — категория объектов над A. Пусть в предыдущем определении \mathcal A = \mathcal{C}, S — тождественный функтор и \mathcal{B}=\textbf{1} (категория с одним объектом * и одним морфизмом). Тогда T(*) = A для некоторого объекта A категории \mathcal{C}. В этом случае используют обозначение (\mathcal{C} \downarrow A). Объекты вида (\alpha, *, f) — это просто пары (\alpha, f), где f : \alpha \rightarrow A. Иногда в этой ситуации f обозначают как \pi_\alpha. Морфизм из (B, \pi_B) в (B', \pi_{B'}) — это морфизм g : B \rightarrow B', замыкающий следующую диаграмму до коммутативной:

CommaCategory-01.png

Двойственный случай — категория объектов под A. Здесь S — функтор из 1 и T — тождественный функтор. В этом случае используют оьозначение (A\downarrow \mathcal{C}), где A — объект \mathcal{C}, в который отображает S. Объекты — пары (B, i_B), где i_B : A \rightarrow B. Морфизм между (B, i_B) и (B', i_{B'}) — отображение h : B \rightarrow B', замыкающее следующую диаграмму до коммутативной:

CommaCategory-02.png

Категория стрелок[править | править вики-текст]

Ещё один частный случай — когда S и T — тождественные функторы в \mathcal{C} (так что \mathcal{A} = \mathcal{B} = \mathcal{C}). В этом случае категория запятой называется категорией стрелок \mathcal{C}^\rightarrow. Её объекты — морфизмы \mathcal{C}, а её морфизмы — коммутативные квадраты в \mathcal{C}.[1]

Свойства[править | править вики-текст]

Для любой категории стрелок определены два забывающих функтора из неё:

  • Функтор прообраза S\downarrow T \to \mathcal A, который отображает:
    • объекты: (\alpha, \beta, f)\mapsto \alpha;
    • морфизмы: (g, h)\mapsto g;
  • Функтор образа, S\downarrow T \to \mathcal B, который отображает:
    • объекты: (\alpha, \beta, f)\mapsto \beta;
    • морфизмы: (g, h)\mapsto h.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Категория множеств с отмеченной точкой — это категория запятой \scriptstyle {(\bull \downarrow \mathbf{Set})}, где \scriptstyle {\bull} — функтор, выбирающий некоторый синглетон и \scriptstyle {\mathbf{Set}} — тождественный функтор в категории множеств. Сходным образом можно образовать категорию топологических пространств с отмеченной точкой \scriptstyle {(\bull \downarrow \mathbf{Top})}.
  • Категория графов 0 это категория запятой \scriptstyle {(\mathbf{Set} \downarrow D)}, где \scriptstyle {D : \mathbf{Set} \rightarrow \mathbf{Set}} — функтор, отправляющий s в s \times s. Объекты вида (a, b, f) состоят из двух множеств и функции; a — индексирующее множество для ребер, b — множество вершин, тогда f : a \rightarrow (b \times b) выбирает пару элементов b для каждого a, то есть f выбирает определенное ребро из множества возможных ребер b \times b. Морфизмы в этой категории — функции на индексирующем множестве и множестве вершин, такие что образы вершин, соответствовавших данному ребру, будут соответствовать его образу.

Сопряжения[править | править вики-текст]

Функторы F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D} и G : \mathcal{D} \rightarrow \mathcal{C} сопряжены тогда и только тогда, когда категории запятой (F \downarrow id_\mathcal{D}) и (id_\mathcal{C} \downarrow G) изоморфны, причем эквивалентные элементы проектируются на один и тот же элемент \mathcal{C} \times \mathcal{D}. Это позволяет описать сопряженные функторы, не используя множества, и это было главной причиной появления конструкции категорий запятой.

Естественные преобразования[править | править вики-текст]

Если образы S, T совпадают, то диаграмма, определяющая морфизм в S\downarrow T с \alpha=\beta, \alpha'=\beta', g=h совпадает с диаграммой, определяющей естественное преобразование S\to T. Различие между двумя определениями состоит в том, что естественное преобразование — это определенный класс морфизмов вида S(\alpha)\to T(\alpha), тогда как объекты категории запятой — это все морфизмы такого вида. Функтор в категорию запятой может выбрать конкретное семейство морфизмов. И действительно, естественному преобразованию \eta:S\to T, где S, T:\mathcal A \to \mathcal C соответствует функтор \mathcal A \to (S\downarrow T) который отображает объект \alpha в (\alpha, \alpha, \eta_\alpha) и морфизмы g в (g, g). Это задает биекцию между естественными преобразованиями S\to T и функторами \mathcal A \to (S\downarrow T), которые являются левыми обратными обоих забывающих функторов из S\downarrow T.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Adámek Jiří Abstract and Concrete Categories. — John Wiley & Sons, 1990. — ISBN 0-471-60922-6.

Литература[править | править вики-текст]

  • С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.