Категория топологических пространств

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, категория топологических пространств — это категория, объекты которой — топологические пространства, а морфизмы — непрерывные отображения. Изучение топологических пространств с использованием методов теории категорий известно как категорная топология.

Конкретная категория[править | править вики-текст]

Top — конкретная категория, поэтому её объекты можно понимать как множества с дополнительной структурой. Существует естественный забывающий функтор, сопоставляющий топологическому пространству его множество-носитель:

U : TopSet

Этот функтор имеет как левый сопряженный

D : SetTop

снабжающий множество дискретной топологией, так и правый сопряженный

I : SetTop

снабжающий множество антидискретной топологией. Более того, поскольку любая функция между дискретными или антидискретными простраствами непрерывна, оба этих функтора задают полное вложение категории множеств в Top.

Пределы и копределы[править | править вики-текст]

Категория Top является полной и кополной, то есть в ней существуют все малые пределы и копределы. Забывающий функтор 'U : TopSet единственным образом поднимает пределы, а также сохраняет их. Поэтому для получение (ко)пределов в Top достаточно снабдить нужной топологией (ко)пределы в Set.

А именно, если F — диаграмма в Top и (L, φ) — предел диаграммы UF в Set, то соответствующий предел F в Top можно получить, снабдив (L, φ) начальной топологией. Соответственно, копределы в Top получаются снабжением копредела в Set конечной топологией.

Другие свойства[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  • Herrlich, Horst: Topologische Reflexionen und Coreflexionen. Springer Lecture Notes in Mathematics 78 (1968).
  • Herrlich, Horst: Categorical topology 1971—1981. In: General Topology and its Relations to Modern Analysis and Algebra 5, Heldermann Verlag 1983, pp. 279—383.
  • Herrlich, Horst & Strecker, George E.: Categorical Topology — its origins, as examplified by the unfolding of the theory of topological reflections and coreflections before 1971. In: Handbook of the History of General Topology (eds. C.E.Aull & R. Lowen), Kluwer Acad. Publ. vol 1 (1997) pp. 255—341.