Квадратичная форма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть \,L есть векторное пространство над полем \,K и e_1,e_2,\dots,e_n — базис в \,L.

Функция Q : L \to K называется квадратичной формой, если её можно представить в виде

Q(x)=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_i x_j,

где x=x_1 e_1+x_2 e_2+\cdots+x_n e_n, а \,a_{ij} — некоторые элементы поля \,K.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Матрицу \,(a_{ij}) называют матрицей квадратичной формы в данном базисе. В случае, если характеристика поля \,K не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть \,a_{ij}=a_{ji}.
  • Для любой квадратичной формы \,Q существует единственная симметричная билинейная форма \,B, такая, что \,Q(x)=B(x,x). Билинейную форму \,B называют полярной к \,Q, она может быть вычислена по формуле
B(x,y)=\frac{1}{2}\,(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)).
  • Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.
  • Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг, то квадратичную форму называют невырожденной, иначе — вырожденной.
  • Квадратичная форма \,Q называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого x\neq 0 выполнено неравенство \,Q(x)>0 \,(Q(x)<0). Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.
  • Квадратичная форма A(x,x) называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
  • Квадратичная форма A(x,x) называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если A(x,x)\geq 0 (A(x,x)\leq 0) для любого x\in L.


Эквивалентные квадратичные формы[править | править вики-текст]

Две квадратичные формы f=\begin{pmatrix} a,&b,&c \end{pmatrix} и g=\begin{pmatrix} p,&q,&r \end{pmatrix} называются эквивалентными, если найдется целочисленная матрица:

\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}

с определителем равным 1, переводящая матрицу f в матрицу g:

\begin{pmatrix} p & q \\ 0 & r \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta  & \delta \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}

Поскольку эквивалентное преобразование не меняет детерминант формы, необходимым условием эквивалентности двух форм является равенство их детерминантов. Однако обратное неверно: среди форм с одинаковым детерминантом может найтись конечное число неэквивалентных.

Редуцированные квадратичные формы[править | править вики-текст]

Положим \Delta любое положительное целое число, не являющееся квадратом какого-либо другого целого числа. Каждый класс неопределенных квадратичных форм с детерминантом \Delta содержит набор канонических представлений, называющихся редуцированными формами. Квадратичная форма f=\begin{pmatrix} a,&b,&c \end{pmatrix} называется редуцированной, если  \sqrt{ \Delta } -2|a| < b < \sqrt{ \Delta } .

Так же нетрудно заметить, что квадратичная форма является редуцированной тогда и только тогда, когда  \sqrt{ \Delta } -2|c| < b < \sqrt{ \Delta } и, что число редуцированных квадратичных форм определенного детерминанта конечно.

Квадратные, смежные и неоднозначные квадратичные формы[править | править вики-текст]

Две формы \begin{pmatrix} a,&b,&c \end{pmatrix} и \begin{pmatrix} a,&b',&c' \end{pmatrix} называются смежными, если выполняется условие b+b'\equiv 0(\mathrm{mod}\, 2c), например:

\begin{pmatrix} a,&b,&c \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} a,&-b,&c \end{pmatrix}

Также на множестве эквивалентных форм можно определить операцию умножения(композицию) тогда, если коэффициенты a и b взаимно-просты, \begin{pmatrix} a,&b,&ac \end{pmatrix}^2 \sim \begin{pmatrix} a^2,&-b,&c \end{pmatrix}

Квадратной формой называется квадратичная форма вида f = \begin{pmatrix} a,&b,&c^2 \end{pmatrix}, в которой третий коэффициент является полным квадратом. Из квадратичной формы f можно извлечь квадратный корень. Для вычисления корня заменим форму f на эквивалентную ей смежную форму f \sim \begin{pmatrix} c^2,&-b,&a \end{pmatrix}, потом извлечем квадратный корень на основании предыдущего определения. В итоге операция извлечения корня сведется к следующему:

g = f^{1/2} = \sqrt{\begin{pmatrix} a,&b,&c^2 \end{pmatrix}} = \sqrt{\begin{pmatrix} c^2,&-b,&a \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} c,&-b,&ac \end{pmatrix} [1]

Форма вида \begin{pmatrix} k,&kn,&c \end{pmatrix} называется неоднозначной. Если форма неоднозначна, то ее определитель делится на k: \ D=(kn)^2-4kc=k(kn^2-4c).

Свойства[править | править вики-текст]

  • Критерий Сильвестра
    • Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
    • Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.
  • Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.
  • Для любой невырожденной квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид:
    A(x,x)= x^2_1+ \cdots+ x^2_p - x^2_{p+1}- \cdots -x^2_{n}.
    • Найти этот базис можно при помощи метода Лагранжа.
    • Разность (p-n) между числом положительных (p) и отрицательных (n
) членов в этой записи называется сигнатурой квадратичной формы. Сигнатура, также как и числа положительных и отрицательных слагаемых, не зависят от способов приведения квадратичной формы к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).
  • Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используется метод Лагранжа.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Скалярное произведение векторов \,(x,y) — симметричная билинейная функция. Соответствующая квадратичная форма \,Q(x)=(x,x) является положительно определённой, она сопоставляет вектору \,x квадрат его длины.
  • Квадратичная форма \,Q(x)=x_1x_2 на плоскости (вектор \,x имеет две координаты: \,x_1 и \,x_2) является знакопеременной, она приводится к каноническому виду x_1^2-x_2^2 с помощью линейной замены \,x_1 = x_1'+x_2', \ x_2 = x_1'-x_2'.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Ш.Т. Ишмухаметов Методы факторизации натуральных чисел, Казанский университет, 2011 стр 78

Литература[править | править вики-текст]

  • Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
  • Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
  • Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
  • Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.