Квадратичная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
f(x) = x^2 - x - 2\!

Квадратичная функция — функция, которую можно задать формулой вида f(x)=ax^2+bx+c~, где a \neq 0~.

График[править | править вики-текст]

f(x) = ax^2 |_{a=\{0.1,0.3,1,3\}} \!
f(x) = x^2 + bx |_{b=\{1,2,3,4\}} \!
f(x) = x^2 - bx |_{b=\{1,2,3,4\}} \!

График квадратичной функции называют параболой.

В общем виде уравнение квадратичной функции записывается так: y=ax^{2}+bx+c. Координаты вершины параболы: (x_{0}; y_{0}), x_{0}=-\frac{b}{2a},  y_0{}=-\frac{D}{4a}~.

Прямая x=-\frac{b}{2a}~ является осью симметрии графика квадратичной функции.

При a<0~ ветви параболы направлены вниз, при a>0~ — вверх.

Свойства графика квадратичной функции[править | править вики-текст]

Многие свойства квадратичной функции зависят от значения дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле D=b^2-4ac~

Свойства квадратичной функции при x равному a>0~ (цветом выделены свойства при a<0~):

Свойство Дискриминант
D>0~ D=0~ D<0~
Область определения D(f)=R~
Множество значений при a>0 E(f)=[-\frac{D}{4a};+\mathcal{1})~
Множество значений при a<0 E(f)=(-\mathcal{1};-\frac{D}{4a}]
Нули функции x_{1,2}=\frac {-b \pm \sqrt D} {2a}~ x= -\frac {b} {2a}~ \empty~
Положительные (отрицательные) значения (-\mathcal{1};x_1)\cup(x_2;+\mathcal{1})~ Везде, кроме точки-\frac{b}{2a}~ Везде
Отрицательные (положительные) значения (x_1;x_2)~ Отсутствуют
Промежуток убывания (возрастания) , если а>0 (-\mathcal{1};-\frac{b}{2a}]~
Промежуток возрастания (убывания) , если a>0 [-\frac{b}{2a};+\mathcal{1})~
Минимальное (максимальное) значение f(x)_{min}=-\frac{D}{4a}~

Примеры появления на практике[править | править вики-текст]

Обобщение[править | править вики-текст]

Обобщение на случай многих переменных служат поверхности второго порядка, в общем виде такое уравнение можно записать, как:

 f(\vec{x}) = \vec{x}^T A \vec{x} + \vec{b} \cdot \vec{x} + c.

Здесь: A — матрица квадратичной формы, \vec{b} — постоянный вектор, c — константа. Свойства функции, так же как и в одномерном случае, определяются главным коэффициентом — матрицей A.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]