Квадратичное поле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Квадратичное поле — алгебраическое числовое поле степени 2 над \mathbb Q. Можно доказать, что отображение d\mapsto \mathbb Q(\sqrt d) задаёт биекцию между множеством свободных от квадратов целых чисел и множеством всех попарно неизоморфных квадратичных полей. Если d>0, квадратичное поле называется действительным, в противном случае — мнимым или комплексным.

Кольцо целых квадратичного поля[править | править вики-текст]

Для любого алгебраического числового поля можно рассмотреть его кольцо целых, то есть множество элементов, являющихся корнями приведенных многочленов с целыми коэффициентами. В случае квадратичного поля это корни приведенных квадратных уравнений с целыми коэффициентами, все числа такого вида нетрудно описать.

Пусть D — свободное от квадратов целое число, сравнимое с 2 или 3 по модулю 4. Тогда кольцо целых соответствующего квадратичного поля (обозначаемое \mathcal{O}_{\mathbf{Q}(\sqrt{D})}) — это множество линейных комбинаций вида a+b\sqrt D, где a,b\in \mathbb Z, с обычными операциями сложения и умножения комплексных чисел. Соответственно, если D\equiv 1\; \text{mod} \; 4, кольцо целых состоит из чисел вида a+b(\frac{{1 + \sqrt{D}}}{2}), a,b\in \mathbb Z.

Примеры колец целых[править | править вики-текст]

Простые числа Эйзенштейна на комплексной плоскости

Дискриминант[править | править вики-текст]

Дискриминант квадратичного поля \mathbb Q(\sqrt d) равен d, когда d сравнимо с 1 по модулю 4, и 4d в противном случае. Например, дискриминант поля гауссовых рациональных чисел равен −4.

Разложение на простые в кольце целых[править | править вики-текст]

Любое кольцо целых является дедекиндовым, поэтому для любого его идеала существует и единственно разложение на простые идеалы. Пусть p — простое число, тогда для главного идеала, порожденного p в \mathcal{O}_K (K — произвольное квадратичное поле) возможны следующие три случая:

  • (p) — простой идеал. Факторкольцо по нему — конечное поле из p2 элементов:
\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K \cong \mathbb F_{p^2}
  • (p) раскладывается в произведение двух различных простых идеалов.
\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K \cong \mathbb F_{p}\times \mathbb F_{p}
  • (p) — квадрат простого идеала. Тогда факторкольцо по нему содержит ненулевые нильпотенты.

Третий случай происходит тогда и только тогда, когда p делит дискриминант поля D (например, идеал (2) является квадратом идеала (1+i) в кольце гауссовых целых чисел). Первый и второй случаи происходят когда символ Кронекера \left(\frac{D}{p}\right) равен −1 и 1 соответственно.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Dummit, pаgе 229
  • Duncan Buell Binary quadratic forms: classical theory and modern computations. — Springer-Verlag, 1989. — ISBN 0-387-97037-1 Chapter 6.
  • Pierre Samuel Algebraic number theory. — Hermann/Kershaw, 1972.
  • I.N. Stewart Algebraic number theory. — Chapman and Hall, 1979. — ISBN 0-412-13840-9 Chapter 3.1.
  • Dummit, D. S., Foote, R. M., 2004. Abstract Algebra, 3rd ed.