Площадь

Площадь
$\ S$
Размерность	L²
Единицы измерения
СИ	м²
СГС	см²
Примечания
скаляр

Площадь — численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической фигуры, неформально говоря, показывающая размер этой фигуры. Исторически вычисление площади называлось квадратурой. Фигура, имеющая площадь, называется квадрируемой. Конкретное значение площади для простых фигур однозначно вытекает из предъявляемых к этому понятию практически важных требований (см. ниже). Фигуры с одинаковой площадью называются равновеликими.

Общий метод вычисления площади геометрических фигур предоставило интегральное исчисление. Обобщением понятия площади стала теория меры множества, пригодная для более широкого класса геометрических объектов.

Свойства

• Площадь единичного квадрата равна 1.
• Площадь аддитивна.
• Площадь неотрицательна.
• Площади конгруэнтных фигур равны.

Для фигур на плоскости, не состоящих из целого количества единичных квадратов, а также для искривлённых трёхмерных поверхностей, площадь определяется с помощью предельного перехода; при этом требуется, чтобы как фигура, так и её граница были кусочно-гладкими.

Общий метод определения площади

Площадь плоской фигуры

Декартовые координаты

Определённый интеграл как площадь фигуры

Площадь между графиками двух функций равна разности интегралов от этих функций в одинаковых пределах интегрирования

Площадь, заключённая между графиком непрерывной функции на интервале [a,b] и горизонтальной осью, может быть вычислена как определённый интеграл от этой функции:

$S = \int\limits_a^b f(x)\, dx$

Площадь, заключённая между графиками двух непрерывных функций $f(x),\, g(x)$на интервале [a,b] находится как разность определённых интегралов от этих функций:

$S = \int\limits_a^b \left | f(x)-g(x) \right |\, dx$

Полярные координаты

В полярных координатах: площадь, ограниченная графиком функции r = r(θ) и лучами θ = θ₁,θ = θ₂,θ₁ < θ₂ вычисляется по формуле:

$S = {1 \over 2} \int\limits_{\theta_1}^{\theta_2} r^2(\theta) \, d\theta$.

Площадь поверхности

Площадь искривлённой поверхности A, заданной вектор-функцией $\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v),$, даётся двойным интегралом:

$S = \iint\limits_A \left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\right|\,du\,dv.$

То же в координатах:

$S = \iint\limits_A \sqrt{\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)^2}\;\mathrm{d}\,u\,\mathrm{d}\,v$

Здесь $\frac{D(y,z)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}y'_u & y'_v \\ z'_u & z'_v \end{vmatrix},\quad\frac{D(z,x)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix} z'_u & z'_v\\ x'_u & x'_v \end{vmatrix},\quad\frac{D(x,y)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}x'_u & x'_v \\ y'_u & y'_v \end{vmatrix}$.

Единицы измерения площади

Метрические единицы

• Квадратный километр, 1 км² = 1 000 000 м²
• Гектар, 1 га = 10 000 м²
• Ар (сотка), 1 а = 100 м²
• Квадратный метр, производная единица системы СИ 1 м² = 1 са (сантиар)
• Квадратный дециметр, 100 дм² = 1 м²;
• Квадратный сантиметр, 10 000 см² = 1 м²;
• Квадратный миллиметр, 1 000 000 мм² = 1 м².

Русские устаревшие

• Квадратная верста = 1,13806 км²
• Десятина = 10925,4 м²
• Копна = 0,1 десятины — сенные покосы меряли копнами
• Квадратная сажень = 4,55224 м²

мерами земли при налоговых расчетах были выть, соха, обжа, размеры которых зависели от качества земли и социального положения владельца. Существовали и различные местные меры земли:коробья, веревка, жеребья и др.

Античные

• Арура

См. также

• Площадь фигуры — математические аспекты понятия.
• Длина кривой
• Квадратура (математика)
• Объём
• Поверхность

Литература

• Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. Изд. 3-е, М.: Наука, 1967.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — Т. 2. — 680 с. — ISBN 5-9221-0155-2.

Ссылки

• Болтянский В. О понятиях площади и объёма. Квант, № 5, 1977.
• Рохлин В. А. Площадь и объём. Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия.