Квадратурная формула Гаусса — Лагерра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В численном анализе квадратурная формула Га́усса — Лаге́рра, или метод Гаусса — Лагерра, — это улучшение формулы численного интегрирования Гаусса.

Квадратурная формула Гаусса — Лагерра аппроксимирует значения интегралов вида:

\int\limits_0^{+\infty}e^{-x}f(x)\,dx

рядом по n точкам:

\int\limits_0^{+\infty}e^{-x}f(x)\,dx\approx\sum_{i=1}^n w_i f(x_i),

где x_i — это i-й корень полинома Лагерра L_n(x), а коэффициенты w_i[1]:

w_i=\frac{x_i}{(n+1)^2 L_{n+1}^2(x_i)}.

Для функции произвольного вида[править | править вики-текст]

Для интеграла произвольный функции можно записать:

\int\limits_0^{+\infty}f(x)\,dx=\int\limits_0^{+\infty}f(x)e^x e^{-x}\,dx=\int\limits_0^{+\infty}g(x)e^{-x}\,dx,

где g(x)=f(x)e^x.

Далее можно применить квадратурную формулу Гаусса — Лагерра к новой функции g(x).

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Abramowitz M., Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions. — 10th printing with corrections. — Dover, 1972. — ISBN 978-0-486-61272-0. Equation 25.4.45.

См. также[править | править вики-текст]