Квазигруппа (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Квазигруппа — магма, в которой всегда возможно деление. В отличие от группы, квазигруппа не обязана быть ассоциативной[1].

Определения и свойства[править | править вики-текст]

Квазигруппой называют пару (Q, *) из множества Q с бинарной операцией * : Q × QQ, удовлетворяющей следующему условию: для любых элементов a и b из Q найдутся единственные элементы x и y из Q, такие что

  • a * x = b
  • y * a = b

Решения этих уравнений иногда записывают так:

  • x = a \ b
  • y = b / a

Операции \ и / называют левым делением и правым делением.

Квазигруппу с единицей называют также лупой (от англ. loop — петля).

Если между элементами двух квазигрупп Q и R можно установить биекцию (то есть они совпадают как множества), говорят, что Q и R имеют одинаковый порядок. Если при этом существуют перестановки A, B, C, действующие на элементах этих квазигрупп, такие что

  • (x, y) = [xA, yB]C

(здесь (,) и [ , ] — операции в Q и R соответственно), то такие квазигруппы называют изотопными.

Для любой квазигруппы существует лупа, которой она изотопна. Если же лупа изотопна группе, то эта лупа является группой. В более общем случае: если полугруппа изотопна лупе, то они изоморфны и обе изоморфны некоторой группе. Изотопия, в некотором смысле, эквивалентна изоморфизму групп, но существуют квазигруппы изотопные, но не изоморфные группам.

Любой латинский квадрат является таблицей умножения (таблицей Кэли) квазигруппы.

Примеры[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Л. В. Сабинин, «Однородные пространства и квазигруппы», Изв. вузов. Матем., 1996, № 7, 77-84

Литература[править | править вики-текст]

  • Белоусов В. Д. «Основы теории квазигрупп и луп» — М.: Наука, 1967. — 224с.
  • Sabinin L.V. Smooth quasigroups and loops — Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. — 257p
  • Сабинин Л. В. Аналитические квазигруппы и геометрия — М.: УДН, 1991. — 112с.
  • Сабинин Л. В., Михеев П. О. Теория гладких луп Бола. — М.: Издательство УДН, 1985. — 81с.
  • «Квазигруппы и лупы» (вып. 51). Валуцэ И. И. (ред.) и др. Сборник научных работ. Кишинёв: Штиинца, 1979. — 168с.
  • Белоусов В. Д. Аналитические сети и квазигруппы — Кишинёв: Штиинца, 1971. — 168с.
  • Михеев П. О., Сабинин Л. В. Гладкие квазигруппы и геометрия. Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом., Том 20. — М.: ВИНИТИ, 1988. 75-110.]
  • Курош А. Г. Общая алгебра. Лекции 1969—1970 учебного года — М.: Наука, 1974. — 160с. Параграфы 5 и 6.
  • Галкин В. М. Квазигруппы в сборнике статей Алгебра, топология, геометрия. Том 26, 1988 г.Итоги науки и техн. Сер. Алгебра, топол., геом. Том 26. М.: ВИНИТИ, 1988. С. 3-44.