Квазимногочлен

Квазимногочле́н — функция, представимая в виде суммы конечного числа квазиодночленов вида $At^{k}e^{\alpha t}\cos \beta t$ или $At^{k}e^{\alpha t}\sin \beta t,$ где $A,\alpha ,\beta ,t\in \mathbb {R} ,k\in \mathbb {Z} _{+}.$ Формулы с квазиодночленами приобретают более компактный и симметричный вид, если использовать комплекснозначные квазиодночлены $(A+iB)t^{k}e^{(\alpha +i\beta )t},$ где на основании формулы Эйлера $e^{(\alpha +i\beta )t}=e^{\alpha t}(\cos \beta t+i\sin \beta t).$

Свойства

• Линейная комбинация с постоянными коэффициентами — снова квазимногочлен;
• произведение квазимногочленов — снова квазимногочлен;
• первообразная и производная от квазимногочлена — снова квазимногочлен.

Приложения

Квазимногочлены широко применяются в теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, что соответствует возможности с их помощью моделировать различные колебательные процессы, в том числе периодические, затухающие и резонансные.

Литература

• Лизоркин П. И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. - М., Наука, 1981. - Тираж 30000 экз. - 384 с.