Квазичастица

Квазичастица – понятие в квантовой механике, введение которого позволяет существенно упростить описание сложных квантовых систем со взаимодействием, таких как твердые тела и квантовые жидкости.

Например, чрезвычайно сложное описание движения электронов в полупроводниках может упроститься введением квазичастицы, под названием электрон проводимости, отличающейся от электрона массой и движущейся в свободном пространстве. Для описания колебаний атомов в узлах кристаллической решетки в теории конденсированного состояния вещества используют фононы, для описания распространения элементарных магнитных возбуждений в системе взаимодействующих спинов – магноны.

Введение

Идея использования квазичастиц была впервые предложена Л. Д. Ландау в теории ферми-жидкости для описания жидкого гелия-3, позже её стали использовать в теории конденсированного состояния вещества. Описывать состояния таких систем, решая уравнение Шрёдингера с 10²³ взаимодействующими частицами невозможно. Обойти эту трудность удается сведением задачи взаимодействия частиц к более простой задаче с невзаимодействующими квазичастицами.

Квазичастицы в ферми-жидкости

Введение квазичастиц для ферми-жидкости производится плавным переходом от возбужденного состояния идеальной системы (без взаимодействия между частицами), полученного из основного, с функцией распределения $n_{0}(\vec{p})$, путем добавления частицы с импульсом $\vec{p}$, адиабатическим включением взаимодействия между частицами. При таком включении возникает возбужденное состояние реальной ферми-жидкости с тем же импульсом, так как он сохраняется при столкновении частиц. По мере включения взаимодействия, добавленная частица вовлекает в движение окружающих её частиц, образуя возмущение. Такое возмущение называют квазичастицей. Полученное таким образом состояние системы соответствует реальному основному состоянию плюс квазичастица с импульсом $\vec{p}$ и энергией, соответствующей данному возмущению. При таком переходе роль частиц газа (в случае отсутствия взаимодействия) переходит к элементарным возбуждениям (квазичастицам), число которых совпадает с числом частиц и которые, как и частицы, подчиняются статистике Ферми - Дирака.

Квазичастицы в твердых телах

Фонон как квазичастица

Описание состояние твердых тел, непосредственно решая уравнение Шредингера для всех частиц, практически невозможно из-за большого числа переменных и сложности учёта взаимодействия между частицами. Упростить такое описание удается введением квазичастиц — элементарных возбуждений относительно некого основного состояния. Часто учёт только низших энергетических возбуждений относительно этого состояния достаточен для описания системы, так как, согласно распределению Больцмана, состояния с большими значениями энергий даются с меньшей вероятностью. Рассмотрим пример применения квазичастиц для описания колебаний атомов в узлах кристаллической решетке.

Примером возбуждений с низкими энергиями может служить кристаллическая решетка при абсолютном нуле температуры, когда к основному состоянию, при котором колебания в решетке отсутствуют, добавляется элементарное возмущение определенной частоты, т.е. фонон. Бывает, что состояние системы характеризуется несколькими элементарными возбуждениями, а эти возбуждения, в свою очередь, могут существовать независимо друг от друга, в таком случае это состояние интерпретируется системой невзаимодействующих фононов. Однако не всегда удается описать состояние невзаимодействующими квазичастицами из-за ангармонического колебания в кристалле. Тем не менее, во многих случаях элементарные возбуждения могут рассматриваться как независимые. Таким образом, можно приближенно считать, что энергия кристалла, связанная с колебанием атомов в узлах решетки, равна сумме энергии некоторого основного состояния и энергий всех фононов.

Квантование колебаний на примере фонона

Рассмотрим скалярную модель кристаллической решетки, согласно которой атомы колеблются вдоль одного направления. Пользуясь базисом плоских волн, напишем выражение для смещений атомов в узле:

$u_{n}(t) = \sum_{\vec{k}} Q_{\vec{k}}(t) \phi_{\vec{k}}(\vec{r}_{n})$

$\phi_{\vec{k}}(\vec{r}_{n}) = \frac{1}{\sqrt{N}} e^{i \vec{k} \vec{r}_{n}}$

В такой форме $Q_{\vec{k}}$ называют обобщенными координатами. Тогда лагранжиан системы:

$L = \sum_{n} \frac{m \dot{u}_{n}^{2}}{2} - \frac{1}{2} \sum_{n,n^{'}} A(\vec{r}_{n} - \vec{r}_{n^{'}})u_{n}u_{n^{'}}$

выразится в терминах $Q_{\vec{k}}$ в виде:

$L = \frac{m}{2} \sum{\vec{k}}(\dot{Q}_{\vec{k}}^{*}\dot{Q}_{\vec{k}} - \omega_{\vec{k}}^{2}Q_{\vec{k}}^{*}Q_{\vec{k}})$

Отсюда выражается канонический импульс и гамильтониан:

$P_{\vec{k}} = \frac{\delta L}{\delta \dot{Q}_{\vec{k}}} = m \dot{Q}_{\vec{k}}^{*}$

$H = \sum_{\vec{\vec{k}}} P_{\vec{k}} \dot{Q}_{\vec{k}} - L = \frac{1}{2m} \sum_{\vec{k}}(P_{\vec{k}}P_{\vec{k}}^{*} + m^{2}\omega_{\vec{k}}^{2}Q_{\vec{k}}^{*}Q_{\vec{k}})$

Квантование действия производится требованием операторных правил коммутации для обобщенной координаты и импульса ($\hbar = 1$):

$[Q_{\vec{k}},P_{\vec{k}^{'}}] = i\delta_{\vec{k}, \vec{k}^{'}}$

$[Q_{\vec{k}},Q_{\vec{k}^{'}}] = [P_{\vec{k}},P_{\vec{k}^{'}}] = 0$

Для перехода к фононному представлению используют язык вторичного квантования, определив операторы рождения $a_{\vec{k}}^{+}$ и уничтожения $a_{\vec{k}}$ квантового фононного поля:

$[a_{\vec{k}},a_{\vec{k}^{'}}^{+}] = i \delta_{\vec{k},\vec{k}^{'}} \, \, \, \, \, \, \, [a_{\vec{k}},a_{\vec{k}^{'}}] = 0$

Прямым вычислением можно проверить, что требуемые правила коммутации выполняются для операторов:

$Q_{\vec{k}} = \frac{1}{\sqrt{2 m \omega_{\vec{k}}}}(a^{+}_{\vec{k}} e^{i \omega t} + a_{-\vec{k}} e^{-i \omega_{\vec{k}} t})$

$P_{\vec{k}} = i \sqrt{\frac{\omega_{\vec{k}} m}{2}}(a^{+}_{-\vec{k}} e^{i \omega t} - a_{\vec{k}} e^{-i \omega_{\vec{k}} t})$

Заменив знак комплексного сопряжения $Q_{\vec{k}}^{*}$ на $Q_{\vec{k}}^{+}$ и учтя, что энергия — четная функция квазиимпульса, $\omega_{\vec{k}} = \omega_{-\vec{k}}$ (из однородности), получим выражения для кинетической и потенциальной частей гамильтониана:

$K = \frac{1}{2m} \sum_{\vec{k}} P_{\vec{k}}P_{-\vec{k}} = - \frac{1}{4} \sum_{\vec{k}} \omega_{\vec{k}}(a^{+}_{-\vec{k}} - a_{\vec{k}})(a^{+}_{\vec{k}} - a_{-\vec{k}})$

$H = \frac{m \omega_{\vec{k}}^{2}}{2} \sum_{\vec{k}} Q_{\vec{k}}Q_{-\vec{k}} = \frac{1}{4} \sum_{\vec{k}} \omega_{\vec{k}}(a^{+}_{-\vec{k}} - a_{\vec{k}})(a^{+}_{\vec{k}} - a_{-\vec{k}})$

Тогда гамильтониан примет вид:

$H = \sum_{\vec{k}} \omega_{\vec{k}}(a^{+}_{\vec{k}}a_{\vec{k}} + \frac{1}{2})$

Иначе можно переписать:

$H = \sum_{\vec{k}} E_{\vec{k}}(n_{\vec{k}} + \frac{1}{2})$

Где

$n_{\vec{k}} = a^{+}_{\vec{k}}a_{\vec{k}}$ — оператор количества частиц, фононов,

$E_{\vec{k}} = \omega_{\vec{k}}$ — энергия фонона с импульсом $\vec{k}$

Такое описание колебаний в кристалле называется гармоническим приближением. Оно соответствует лишь рассмотрению квадратичных членов по смещениям в гамильтониане.

Квазичастицы в ферромагнетике, магноны

В случае ферромагнетика, при абсолютном нуле температуры, все спины выстраиваются вдоль одного направления. Такое расположение спинов соответствует основному состоянию. Если один из спинов отклонить от заданного направления и предоставить систему самой себе, начнёт распространяться волна. Энергия этой волны будет равна энергии возбуждения кристалла, связанной с изменением ориентации спина атома. Эту энергию можно рассматривать как энергию некоторой частицы, которую и называют магноном.

Если энергия ферромагнетика, связанная с отклонением спинов, невелика, то её можно представить в виде суммы энергий отдельных распространяющихся спиновых волн или, выражаясь иначе, в виде суммы энергий магнонов.

Магноны, как и фононы, подчиняются статистике Бозе-Эйнштена

Свойства

• Квазичастицы характеризуются вектором $\vec{p}$, свойства которого похожи на импульс, его называют квазиимпульсом.
• Энергия квазичастицы, в отличие от энергии обычной частицы, имеет иную зависимость от импульса.
• Квазичастицы могут взаимодействовать между собой, а также с обычными частицами
• Могут иметь заряд и/или спин.
• Квазичастицы с целым значением спина подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна, с полуцелым — Ферми-Дирака.

Сравнение квазичастиц с обычными частицами

Между квазичастицами и обычными элементарными частицами существует ряд сходств и отличий. Во многих теориях поля (в частности, в конформной теории поля) не делают вообще никаких различий между частицами и квазичастицами.

Сходства

• Как и обычная частица, квазичастица может быть более-менее локализованной в пространстве и сохранять свою локализованность в процессе движения.
• Квазичастицы могут сталкиваться и/или взаимодействовать иным образом. При столкновении низкоэнергетических квазичастиц выполняются механические законы сохранения квазиимпульса и энергии. Квазичастицы могут также взаимодействовать и с обычными частицами (например, с фотонами).
• Для квазичастиц с квадратичным законом дисперсии (т. е. энергия пропорциональна квадрату импульса) можно ввести понятие эффективной массы. Поведение такой квазичастицы будет очень похоже на поведение обычных частиц.

Различия

• В отличие от обычных частиц, которые существуют сами по себе, в том числе и в пустом пространстве, квазичастицы не могут существовать вне среды, колебаниями которой они и являются.
• При столкновениях, для многих квазичастиц закон сохранения квазиимпульса выполняется с точностью до вектора обратной решётки.
• Закон дисперсии обычных частиц — это данность, которую никак не изменить. Закон дисперсии квазичастиц возникает динамически, и потому может иметь самый замысловатый вид.
• Квазичастицы могут иметь дробный электрический заряд или магнитный заряд.

Другие квазичастицы

• Электрон проводимости — имеет тот же заряд и спин, как у "нормального" электрона, но отличается массой.
• Дырка — незаполненная валентная связь, которая проявляет себя как положительный заряд, численно равный заряду электрона.
• Ротон — коллективное возбуждение, связанное с вихревым движением в жидкости.
• Полярон — квазичастица, соответствующая поляризации, связанной с движением электрона, обусловленной взаимодействием электрона с кристаллической решеткой.
• Плазмон — представляет собой коллективное колебание электронов в плазме.

Частицы в физике