Квантовая группа

Квантовая группа — разновидность некоммутативной алгебры с дополнительной структурой. Является видом алгебр Хопфа, обеспечивающим решение уравнения Янга-Бакстера. Можно рассматривать квантовую группу как результат квантования группы Ли, так превращённой в пуассоново многообразие, что скобка Пуассона согласована с групповым умножением. Также квантовую группу можно рассматривать как некоммутативную разновидность алгебраических групп или групп Ли. Квантовая группа от классической группы $G$ обозначается как $G_q$. Может быть описана в терминах своей алгебры функций $k[G_{q}]$ или в терминах квантования своей универсальной обёртывающей $U_q(g)$. Понятие квантовой группы впервые появилось в работах П.П. Кулиша, Н.Ю. Решетихина, Е.К. Склянина, Л.Д. Фаддева, Л.А. Тахтаджяна, посвящённых квантовому методу обратной задачи.

См. также

• Классическое уравнение Янга—Бакстера
• Алгебра Хопфа
• Алгебра Ли
• Квантовое уравнение Янга—Бакстера
• Коммутативная алгебра
• Нётерово кольцо
• Теорема Пуанкаре—Биркгофа—Витта
• Квантовая R—матрица
• Квантовая обёртывающая алгебра
• Квантовый метод обратной задачи
• q—специальные функции
• Алгебра Гекке
• Полупростые группы
• Матрица Картана

Литература

• Кулиш П.П., Склянин Е.К. Решения уравнения Янга-Бакстера. // Зап. научн. семин. Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР. — 1980. — т. 95. — С. 129-160.
• Кулиш П.П., Решетихин Н.Ю. Квантовая линейная задача для уравнения синус-Гордона и

высшие представления. // Зап. научн. семин. Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР. — 1981. — т. 101. — С. 101-110.

• Склянин Е.К. О некоторых алгебраических структурах, связанных с уравнением Янга-Бакстера. // Функц. анализ и его прил. — 1982. — т. 16, № 4. — С. 27-34.
• Дринфельд В.Г. Гамильтоновы структуры на группах Ли, биалгебры Ли и геометрический

смысл классических уравнений Янга-Бакстера. // Доклады АН СССР. — 1983. — т. 268, № 2. — С. 285-287.

• Дринфельд В.Г. О постоянных квазиклассических решениях квантового уравнения Янга-Бакстера. // Доклады АН СССР. — 1983. — т. 273, № 3. — С. 531-535.
• Дринфельд В.Г. Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Янга-Бакстера. // Доклады АН СССР. — 1985. — т. 283, № 5. — С. 1060-1064.
• Дринфельд В.Г. Квантовые группы. // Зап. научн. семин. Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР. — 1986. — т. 155. — С. 19-49.
• Faddeev L.D., Takhtajan L.A. A Liouville modell on the lattice. // Lect. Notes Math. Phys. — 1986. — V. 246. — С. 166-179.
• Manin Y.I. Quantum groups and noncommutative geometry // Montreal, PQ: Universete de Montreal, Centre de recherches Mathematiques, 1988.
• Фаддеев Л.Д. Квантование групп Ли и алгебр Ли. // Алгебра и анализ, 1989, 1, 178-206.
• Manin Y.I. Notes on quantum groups and quantum de Rham complexes. // Теорет. матем. Физ. — 1992. — т. 92, № 3. — С. 425-450.
• Jimbo M. A q-difference analogue of U() and the Yang-Baxter equation. // Lett. Math. Phys. — 1985. — V. 10. — P. 63-69.