Квантовая теория поля

Ква́нтовая тео́рия по́ля (КТП) — раздел физики, изучающий поведение квантовых систем с бесконечно большим числом степеней свободы — квантовых (или квантованных) полей; является теоретической основой описания микрочастиц, их взаимодействий и превращений. Именно на квантовой теории поля базируется вся физика высоких энергий, физика элементарных частиц и физика конденсированного состояния. Квантовая теория поля в виде Стандартной модели (с добавкой масс нейтрино) сейчас является единственной экспериментально подтверждённой теорией, способной описать и предсказать поведение элементарных частиц при высоких энергиях (то есть при энергиях, существенно превышающих их энергию покоя).

Математический аппарат КТП — гильбертово пространство состояний (пространство Фока) квантового поля и действующие в нём операторы. В отличие от квантовой механики, «частицы» как некие неуничтожимые элементарные объекты в КТП отсутствуют. Вместо этого основные объекты здесь — векторы фоковского пространства, описывающие всевозможные возбуждения квантового поля. Аналогом квантовомеханической волновой функции в КТП является полевой оператор (точнее, «поле» — это операторнозначная обобщённая функция, из которой только после свёртки с основной функцией получается оператор, действующий в гильбертовом пространстве состояний), способный действовать на вакуумный вектор фоковского пространства (см. вакуум) и порождать одночастичные возбуждения квантового поля. Физическим наблюдаемым здесь также соответствуют операторы, составленные из полевых операторов^{[стиль!]}.

При построении квантовой теории поля ключевым моментом было понимание сущности явления перенормировки.

История зарождения

Основное уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера — является релятивистски неинвариантным, что видно из несимметричного вхождения времени и пространственных координат в уравнение. В 1926 году было предложено релятивистски инвариантное уравнение для свободной (бесспиновой или с нулевым спином) частицы (уравнение Клейна — Гордона — Фока). Как известно, в классической механике (включая нерелятивистскую квантовую механику) энергия (кинетическая, поскольку потенциальная предполагается нулевой) и импульс свободной частицы связаны соотношением $E=p^2/2m$. Релятивистское соотношение энергии и импульса имеет вид $E^2=p^2c^2+m^2c^4$. Предполагая, что оператор импульса в релятивистском случае такой же, как и в нерелятивистской области, и используя данную формулу для построения релятивистского гамильтониана по аналогии, получим уравнение Клейна — Гордона:

${\hbar^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}={\hbar^2}{c^2} \mathbf{\nabla}^2\psi-{m^2c^4}\psi$ или $\mathbf{\nabla}^2\psi-\frac{\partial^2\psi}{\partial {(ct)^2}}= \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\psi$

или, кратко, используя вдобавок естественные единицы $\hbar=c=1$:

$(\square\ - m^2) \psi = 0$, где $\square\$ — оператор Д’Аламбера.

Однако проблема данного уравнения заключается в том, что волновую функцию здесь сложно интерпретировать как амплитуду вероятности хотя бы потому, что — как можно показать — плотность вероятности не будет положительно определенной величиной.

Несколько иное обоснование имеет уравнение Дирака, предложенное им в 1928 году. Дирак пытался получить дифференциальное уравнение первого порядка, в котором обеспечено равноправие временной координаты и пространственных координат. Поскольку оператор импульса пропорционален первой производной по координатам, то гамильтониан Дирака должен быть линейным по оператору импульса.

$H_D=mc^2 \alpha_0 + c \boldsymbol{\alpha}\cdot \mathbf{\hat{p}}$

и с учетом формулы связи энергии и импульса, на квадрат этого оператора налагаются ограничения, а значит и на "коэффициенты"$\alpha$ — их квадраты должны быть равны единице и они должны быть взаимно антикоммутативны. Таким образом, это точно не могут быть числовые коэффициенты. Однако, они могут быть матрицами, причем размерности не менее 4, а "волновая функция" — четырехкомпонентным объектом, получившим название биспинора. В таком случае уравнение Дирака формально имеет вид, идентичный уравнению Шредингера (с гамильтонианом Дирака).

Однако данное уравнение, впрочем как и уравнение Клейна — Гордона, имеет решения с отрицательными энергиями. Данное обстоятельство явилось причиной для предсказания античастиц, что позже и было подтверждено экспериментально (открытие позитрона). Наличие античастиц есть следствие релятивистского соотношения между энергией и импульсом.

Одновременно к концу 20-х годов был разработан формализм квантового описания многочастичных систем (включая системы с переменным числом частиц), основанного на операторах рождения и уничтожения частиц. Квантовая теория поля оказывается также основанной на этих операторах (выражается через них).

Уравнения Клейна — Гордона и Дирака следует рассматривать как уравнения для полевых операторных функций, действующих на вектор состояния системы квантовых полей, удовлетворяющих уравнению Шрёдингера.

Сущность квантовой теории поля

Лагранжев формализм

В классической механике с помощью лагранжева формализма можно описать многочастичные системы. Лагранжиан многочастичной системы равен сумме лагранжианов отдельных частиц, если частицы считать не взаимодействующими. В теории поля аналогичную роль может играть лагранжева плотность (плотность лагранжиана) в данной точке пространства. Соответственно лагранжиан системы (поля) будет равен интегралу от плотности лагранжиана по трехмерному пространству. Действие, как и в классической механике, предполагается равным интегралу от лагранжиана по времени. Следовательно, действие в теории поля можно рассматривать как интеграл от плотности лагранжиана по четырехмерному пространству-времени. Соответственно можно применить принцип наименьшего (стационарного) действия к этому четырехмерному интегралу и получить полевые уравнения — уравнения Эйлера-Лагранжа. Для релятивистских полей минимальное требование к лагранжиану (лагранжевой плотности) — релятивистская инвариантность. Второе требование — лагранжиан не должен содержать производных полевой функции выше первой степени, чтобы уравнения движения получались "правильными" (соответствовали классической механике). Есть также и иные требования (локальность, унитарность и др.). Согласно теореме Нётер инвариантность функционала действия относительно k-параметрических преобразований приводит к k динамическим инвариантам поля, то есть к законам сохранения. В частности инвариантность действия относительно трансляций (сдвигов) приводит к сохранению 4-импульса.

Пример: Скалярное поле c лагранжианом $L_s=\frac{1}{2}{\partial_\mu}{\psi(x)}{\partial^\mu}{\psi(x)}-\frac{m^2}{2}{\psi^2(x)}$

Уравнения движения для данного поля приводят к уравнению Клейна-Гордона. Для решения этого уравнения полезно перейти к импульсному представлению через преобразование Фурье. Из уравнения Клейна-Гордона нетрудно видеть, что коэффициенты Фурье будут удовлетворять условию

$(k^2-m^2)\tilde{\psi}(k)=0 ~~ \Rightarrow \tilde{\psi}(k)=\sqrt{ 2 \pi }\delta (k^2-m^2)\psi(k)~,$ где $~~\psi(k)~$ — произвольная функция

Дельта-функция устанавливает связь между частотой (энергией) $k_0$, волновым вектором (вектором импульса) $\overrightarrow k$ и параметром (массой) $m$: $k_0=\pm \sqrt {\overrightarrow{k}^2+m^2}$. Соответственно для двух возможных знаков имеем два независимых решения в импульсном представлении (интеграл Фурье)

$\psi^{\pm}(x)=\frac {1}{{(2 \pi)}^{3/2}} \int \delta (k^2-m^2)\psi^{\pm}(k)e^{\pm ikx}dk=\frac {1}{{(2 \pi)}^{3/2}} \int a^{\pm}(\overrightarrow k)e^{\pm ikx}\frac {d\overrightarrow k} {\sqrt{2k_0}}~,~~~~a^{\pm}(\overrightarrow k)=\psi^{\pm}(k)/\sqrt{2k_0}~,~~~~ \psi(x)=\psi^+(x)+\psi^-(x)$

Можно показать, что вектор импульса будет равен

$P^\nu =\frac {1} {2} \int (a^+(\overrightarrow k)a^-(\overrightarrow k)+a^-(\overrightarrow k)a^+(\overrightarrow k))k^\nu d\overrightarrow k =\int a^+(\overrightarrow k)a^-(\overrightarrow k)k^\nu d\overrightarrow k$

Следовательно, функцию $n(\overrightarrow k)=a^+(\overrightarrow k)a^-(\overrightarrow k)$ можно интерпретировать как среднюю плотность частиц с масоой $m$, импульсом $\overrightarrow k$ и энергией $k_0=\sqrt {\overrightarrow {k}^2+m^2}$. После квантования эти произведения превращаются в операторы, имеющие целочисленные собственные значения.

Квантование поля. Операторы рождения и уничтожения квантов

Квантование означает переход от полей к операторам, действующим на вектор (амплитуду) состояния Φ. По аналогии с обычной квантовой механикой вектор состояния полностью характеризует физическое состояние системы квантованных волновых полей. Вектор состояния — это вектор в некотором линейном пространстве.

Основной постулат квантования волновых полей заключается в том, что операторы динамических переменных выражаются через операторы полей таким же образом, что и для классических полей (с учетом порядка перемножения)

Для квантового гармонического осциллятора получена известная формула квантования энергии $E_n={\hbar} {\omega}(n+1/2)$. Собственные функции, соответствующие указанным собственным значениям гамильтониана, оказываются связанными друг с другом некоторыми операторами ${\hat{a}}^+{\psi}_n={\sqrt{n+1}}{\psi}_{n+1}$ — повышающий оператор, ${\hat{a}}{\psi}_n={\sqrt{n}}{\psi}_{n-1}$ — понижающий оператор. Следует отметить, что эти операторы некоммутативны (их коммутатор равен единице). Применение повышающего или понижающего оператора увеличивает квантовое число n на единицу и приводит к одинаковому увеличению энергии осциллятора (эквидистантность спектра), что можно интерпретировать как рождение нового или уничтожение кванта поля с энергией ${\hbar} {\omega}$. Именно такая интерпретация позволяет использовать вышеприведенные операторы, как операторы рождения и уничтожения квантов данного поля. Гамильтониан гармонического осциллятора выражается через указанные операторы следующим образом $H={\hbar\omega}{(\hat{n}+1/2)}$, где ${\hat{n}}={\hat{a}}^+{\hat{a}}$ — оператор числа квантов поля. Как нетрудно показать ${\hat{n}}{\psi}_n=n{\psi}_n$ — то есть, собственные значения этого оператора — число квантов. Любое n-частичное состояние поля может быть получено действием операторов рождения на вакуум

${\psi}_n=\frac{(\hat{a}^+)^n}{\sqrt{n!}}\psi_0$

Для вакуумного состояния результат применения оператора уничтожения равен нулю (это можно принять за формальное определение вакуумного состояния).

В случае N осцилляторов гамильтониан системы равен сумме гамильтонианов индивидуальных осцилляторов. Для каждого такого осциллятора можно определить свои операторы рождения $\hat{a}^+_k, k=1,...,N$. Следовательно произвольное квантовое состояние такой системы может быть описано с помощью чисел заполнения $n_k$ — количества операторов данного сорта k, действующих на вакуум:

$\psi(n_1,...,n_N)=\prod_{(k)}{\frac{(\hat{a_k}^+)^{n_k}}{\sqrt{n_k!}}}\psi_0$

Такое представление называют представлением чисел заполнения. Суть данного представления заключается в том, чтобы вместо задания функции $\psi$ функции от координат (координатное представление) или как функцию от импульсов (импульсное представление), состояние системы характеризуется номером возбужденного состояния — числом заполнения.

Можно показать, что, например, скалярное поле Клейна-Гордона может быть представлено как совокупность осцилляторов. Разлагая полевую функцию в бесконечный ряд Фурье по трехмерному вектору импульса можно показать, что из уравнения Клейна-Гордона следует, что амплитуды разложения удовлетворяют классическому дифференциальному уравнению второго порядка для осциллятора с параметром (частотой) $\omega_k =\sqrt {\overrightarrow k^2+m^2}$. Рассмотрим ограниченный куб $V=L^3$ и наложим условие периодичности по каждой координате с периодом $L$.Условие периодичности приводит к квантованию допустимых импульсов и энергии осциллятора:

$\overrightarrow k (n)= \frac {2 \pi}{L}(n_1, n_2, n_3)~~~,~~~\omega_n^2=m^2+\frac {4\pi^2} {L^2} n^2$

Операторы поля, операторы динамических переменных

Фоковское представление

Квантование по Бозе-Эйнштейну и Ферми-Дираку. Связь со спином.

Коммутационные соотношения Бозе-Эйнштейна основаны на обычном коммутаторе (разность "прямого" и "обратного" произведения операторов), а коммутационные соотношения Ферми-Дирака — на антикоммутаторе (сумма "прямого" и "обратного" произведения операторов). Кванты первых полей подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна и называются бозонами, а кванты вторых подчиняются статистике Ферми-Дирака и называются фермионами. Квантование полей по Бозе-Эйнштейну оказывается непротиворечивым для частиц с целым спином, а для частиц с полуцелым спином непротиворечивым оказывается квантование по Ферми—Дираку. Таким образом, фермионы являются частицами с полуцелым спином, а бозоны — с целым.

S-матричный формализм. Диаграммы Фейнмана

Проблема расходимостей и пути их решения

См. также

• Теория всего
• Исключительно простая теория всего

Литература

• Квантовая теория поля — Физическая энциклопедия (гл. редактор А. М. Прохоров).
• Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — М.: Наука, 1984. — 600 с.
• Бьёркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. — М.: Наука, 1978. — 296+408 с.
• Вайнберг С. Квантовая теория поля. — М.: Физматлит, 2003. — Т. 1, 2. — 648+528 с.
• Вайнберг С. Квантовая теория полей. — М.: Фазис, 2002. — Т. 3. — 458 с.
• Вентцель Г. Введение в квантовую теорию волновых полей. — М.: ГИТТЛ, 1947. — 292 с.
• Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — Ижевск: РХД, 2009. — 632 с.
• Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. — М.: Мир, 1984. — Т. 1. — 448 с.
• Пескин М., Шрёдер Д. Введение в квантовую теорию поля. — Ижевск: РХД, 2001. — 784 с.
• Райдер Л. Квантовая теория поля. — М.: Мир, 1987. — 512 с.
• Фейнман Р. КЭД — странная теория света и вещества. — М.: Наука, 1988. — 144 с.
• Фейнман Р. Характер физических законов. — М.: Наука, 1987. — 160 с.

Физика (экспериментальная • теоретическая)