Квантовая ёмкость

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Квантовая ёмкость — дополнительная электрическая ёмкость между затвором и двумерным электронным газом (ДЭГ), возникающая благодаря низкой по сравнению с металлами плотностью состояний в ДЭГ. Была впервые введёна Serge Luryi в1988 году[1] для характеристики изменения химического потенциала в инверсионных слоях кремния и ДЭГ в GaAs.

ДЭГ и затвор представляют собой обычный конденсатор с включённой последовательно квантовой ёмкостью.

Теория[править | править исходный текст]

Если одна из обкладок конденсатора представляет собой металл с высокой плотностью состояний, а другая, расположенный на расстоянии d, — ДЭГ с много меньшей плотностью состояний, то изменение напряжения δV на этом конденсаторе приводит к изменению электрического поля между обкладками δE, а также к сдвигу химического потенциала δμ, что можно записать в виде:

\delta V =\delta Ed +\frac{\delta \mu}{e}=\delta Ed+\frac{\partial \mu}{\partial n} \frac{\delta n}{e}.

Это выражение можно переписать с учётом вариации заряда δρ=eδn и воспользовавшись теоремой Гаусса δE=δρ/ε, где ε=εdε0 произведение диэлектрической постоянной материала диэлектрика и диэлектрической постоянной вакуума, через ёмкость нормированную на площадь обкладок C/A=δρ/δV в упрощённом виде

\frac{A}{C} =\frac{d}{\varepsilon}+\frac{1}{e^2}\frac{\partial \mu}{\partial n}

Первое слагаемое это обратная ёмкость плоского конденсатора, а второе слагаемое связано с понятием квантовой ёмкости, которая пропорциональна плотности состояний

C_{Q} = e^2\cdot D_{2D}

где e — элементарный заряд. Если переписать ёмкость в терминах длины экранирования

\lambda = \frac{\varepsilon}{e^2}\frac{\partial \mu}{\partial n}

то выражение примет ещё более прозрачный вид

\frac{C}{A} =\frac{\varepsilon}{(d+\lambda)},

поясняющий влияние конечной длины проникновения электрического поля в материал с меньшей плотностью состояний, чем у металла. Фактически расстояние между обкладками увеличивается на длину экранирования.[2]

Для ДЭГ плотность состояний равна (учтено только спиновое вырождение)

D_{2D} = \frac{m^*}{\pi \hbar^2} \

где m^{*} — эффективная масса носителей тока. Так как плотность состояний ДЭГ не зависит от концентрации, то квантовая ёмкость тоже не зависит от концентрации, хотя при учёте электрон-электронных взаимодействий квантовая ёмкость зависит от энергии[3][4].

Связь со сжимаемостью электронного газа[править | править исходный текст]

Для электронного газа, как и для обычного идеального газа можно ввести понятие сжимаемости K, обратная величина которой определяется как взятое с отрицательным знаком произведение объёма газа V и изменения давления P электронного газа при изменении объёма с сохранением числа частиц N:

\frac{1}{K}=-V\left(\frac{dP}{dV}\right)_{N}.

Другое важное соотношение получается из теоремы Зейтца[5]:

\frac{1}{K}=n^2\frac{d\mu}{dn}.

Отсюда следует, что измеряя квантовую ёмкость мы также получаем информацию о сжимаемости электронного газа.

Термодинамическая плотность состояний[править | править исходный текст]

Для того чтобы учесть распределение электронов по энергии (распределение Ферми — Дирака f(ε-μ)) из-за конечной температуры T, вводят так называемую термодинамическую плотность состояний определяемую как[6][7]

D(\mu)=\int^{\infty}_{-\infty}d\varepsilon N(\varepsilon)\left(-\frac{\partial f(\varepsilon)}{\partial\varepsilon}\right)=\int^{\infty}_{-\infty}\frac{N(\varepsilon)d\varepsilon}{4k_BT \textrm{cosh}^2\left(\frac{\varepsilon-\mu}{2k_BT}\right)},

где N(ε) — плотность состояний при нулевой температуре, kBпостоянная Больцмана.

Графен[править | править исходный текст]

Для графена, где плотность состояний пропорциональна энергии, квантовая ёмкость зависит от концентрации[8]:

C_{Q} = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{e^2}{\hbar v_F}\sqrt{n},

где \hbar — редуцированная постоянная Планка, vF — фермиевская скорость.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Serge Luryi (1988). "Quantum capacitance devices". Appl.Phys.Lett. 52(6). Pdf
  2. G. F. Giuliani and G. Vignale Quantum theory of the electron liquid Cambridge university press, 2005.
  3. J. P. Eisenstein, L. N. Pfeiffer, and K. W. West Negative compressibility of interacting two-dimensional electron and quasiparticle gases Phys. Rev. Lett. 68, 674–677 (1992)
  4. B. Tanatar and D. M. Ceperley Ground state of the two-dimensional electron gas Phys. Rev. B 39, 5005–5016 (1989)
  5. G. D. Mahan Many-particle Physics 3rd edition Kluwer Academic/Plenum Publishers 2000
  6. M. I. Katsnelson Graphene: carbon in two dimensions Cambridge University Press 2012.
  7. D. L. John, L. C. Castro, and D. L. Pulfrey Quantum capacitance in nanoscale device modeling J. Appl. Phys. 96, 5180 (2004).
  8. L. A. Ponomarenko et al. Density of States and Zero Landau Level Probed through Capacitance of Graphene Phys. Rev. Lett. 105, 136801 (2010).