Кватернион Гурвица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике кватернионом Гурвица (или целым числом Гурвица) называется кватернион, компоненты которого либо все целые, либо все полуцелые (половины нечетных чисел; смесь целых и полуцелых недопустима). Множество всех кватернионов Гурвица

H = \left\{a+bi+cj+dk \in \mathbb{H} \mid a,b,c,d \in \mathbb{Z} \;\mbox{ or }\, a,b,c,d \in \mathbb{Z} + \tfrac{1}{2}\right\}.

Можно показать, что H замкнуто относительно умножения и сложения, что делает его подкольцом кольца всех кватернионов.

Кватернион Липшица (или Целое Липшица) - это кватернион, все компоненты которого целые числа. Множество всех кватернионов Липшица

L = \left\{a+bi+cj+dk \in \mathbb{H} \mid a,b,c,d \in \mathbb{Z}\right\}

формирует подкольцо в кольце кватернионов Гурвица H.

Как группа, H является свободной абелевой группой с образующими {½(1+i+j+k), i, j, k}. Она, таким образом, образует решетку в R4. Эта решетка известна как Решетка F4, поскольку она является корневой решеткой полупростой алгебры Ли F4. Кватернион Липшица L образует подрешетку в H.

Группа единиц в L образует кватернионную группу Q = {±1, ±i, ±j, ±k}. Группа единиц в H не является абелевой и образует группу 24-ого порядка, известную как бинарная группа тетраэдра. Эта группа включает в себя 8 элементов Q и 16 кватернионов {½(±1±i±j±k)}, где знаки берутся в любой комбинации. Кватернионная группа является нормальной подгруппой бинарной группы тетраэдра U(H). Элементы U(H), имея норму 1, образуют вершины 24-гранника, вписанного в 3-сферу.

Норма кватерниона Гурвица, заданного формулой a^2+b^2+c^2+d^2, всегда представляет собой целое число. По теореме Лагранжа любое неотрицательное целое число можно представить в виде суммы четырех (или менее) квадратов. Таким образом, любое неотрицательное целое число является нормой некоего кватерниона Липшица(или Гурвица). Целое число Гурвица является простым элементом в том и только в том случае, когда его норма - простое число.

Смотрите также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]