Кеплеровы элементы орбиты

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Кеплеровские элементы орбиты, включая аргумент перицентра (рис.1)
Части эллипса (рис.2)

Кеплеровы элементы — шесть элементов орбиты, определяющих положение небесного тела в пространстве в задаче двух тел:

Первые два определяют форму орбиты, третий, четвёртый и пятый — ориентацию плоскости орбиты по отношению к базовой системе координат, шестой — положение тела на орбите.

Большая полуось[править | править вики-текст]

Большая полуось — это половина главной оси эллипса |AB| (обозначена на рис.2 как a). В астрономии характеризует среднее расстояние небесного тела от фокуса.[источник не указан 575 дней]

Эксцентриситет[править | править вики-текст]

Эксцентрисите́т (обозначается «e» или «ε») — числовая характеристика конического сечения. Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия.[1] Эксцентриситет характеризует «сжатость» орбиты. Он выражается по формуле:

\varepsilon = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}, где b — малая полуось (см. рис.2)

Можно разделить внешний вид орбиты на пять групп:

Наклонение[править | править вики-текст]

A — Объект
B — Центральный объект
C — Плоскость отсчёта
D — Плоскость орбиты
i — Наклонение

Наклонение орбиты (накло́н орбиты, накло́нность орбиты, наклоне́ние) небесного тела — это угол между плоскостью его орбиты и плоскостью отсчёта (базовой плоскостью).

Обычно обозначается буквой i (от англ. inclination). Наклонение измеряется в угловых градусах, минутах и секундах.

Если 0<i<90°, то движение небесного тела называется прямым[2].
Если 90°<i<180°, то движение небесного тела называется обратным.

Зная наклонение двух орбит к одной плоскости отсчёта и долготы их восходящих узлов, можно вычислить угол между плоскостями этих двух орбит — их взаимное наклонение, по формуле косинуса угла.

Аргумент перицентра[править | править вики-текст]

Аргуме́нт перице́нтра — определяется как угол между направлениями из притягивающего центра на восходящий узел орбиты и на перицентр (ближайшую к притягивающему центру точку орбиты спутника), или угол между линией узлов и линией апсид. Отсчитывается из притягивающего центра в направлении движения спутника, обычно выбирается в пределах 0°-360°. Для определения восходящего и нисходящего узла выбирают некоторую (так называемую базовую) плоскость, содержащую притягивающий центр. В качестве базовой обычно используют плоскость эклиптики (движение планет, комет, астероидов вокруг Солнца), плоскость экватора планеты (движение спутников вокруг планеты) и т. д.

При исследовании экзопланет и двойных звёзд в качестве базовой используют картинную плоскость — плоскость, проходящую через звезду и перпендикулярную лучу наблюдения звезды с Земли. Орбита экзопланеты, в общем случае случайным образом ориентированная относительно наблюдателя, пересекает эту плоскость в двух точках. Точка, где планета пересекает картинную плоскость, приближаясь к наблюдателю, считается восходящим узлом орбиты, а точка, где планета пересекает картинную плоскость, удаляясь от наблюдателя, считается нисходящим узлом. В этом случае аргумент перицентра отсчитывается из притягивающего центра против часовой стрелки.

Обозначается (\omega\,\!).

Долгота восходящего узла[править | править вики-текст]

Долгота́ восходя́щего узла́ — один из основных элементов орбиты, используемый для математического описания ориентации плоскости орбиты относительно базовой плоскости. Определяет угол в базовой плоскости, образуемый между базовым направлением на нулевую точку и направлением на точку восходящего узла орбиты, в которой орбита пересекает базовую плоскость в направлении с юга на север. Для тел, обращающихся вокруг Солнца, базовая плоскость — эклиптика, а нулевая точка — Первая точка Овна (точка весеннего равноденствия); угол измеряется от направления на нулевую точку против часовой стрелки.

Восходящий узел обозначается ☊, или Ω.

Средняя аномалия[править | править вики-текст]

Анимация, иллюстрирующая истинную аномалию, эксцентрическую аномалию, среднюю аномалию и решение уравнения Кеплера.
Аномалии (рис.3)

Средняя аномалия для тела, движущегося по невозмущённой орбите — произведение его среднего движения и интервала времени после прохождения перицентра. Таким образом, средняя аномалия есть угловое расстояние от перицентра гипотетического тела, движущегося с постоянной угловой скоростью, равной среднему движению.

Обозначается буквой M (от англ. mean anomaly)

В звёздной динамике средняя аномалия M\,\! вычисляется по следующим формулам:

M = M_0 + n(t-t_0)\,\!

где:

  • M_0\,\! — средняя аномалия на эпоху t_0\,\!,
  • t_0\,\! — начальная эпоха,
  • t\,\! — эпоха, на которую производятся вычисления, и
  • n\,\! — среднее движение.

Либо через уравнение Кеплера:

M=E - e \cdot \sin E\,\!

где:

Вычисление кеплеровых элементов[править | править вики-текст]

Рассмотрим следующую задачу: пусть имеется невозмущённое движение и известны вектор положения \mathbf r_0(x_0,y_0,z_0) и вектор скорости \mathbf {{\dot r}({\dot x_0}, {\dot y_0}, {\dot z_0})} на момент времени t. Найдём кеплеровы элементы орбиты.

Прежде всего, вычислим большую полуось:

r^2_0 = x^2_0 + y^2_0 + z^2_0
\dot r^2_0 = \dot x^2_0 + \dot y^2_0 + \dot z^2_0
r_0 \cdot \dot r_0 = x_0 \cdot \dot x_0  +  y_0 \cdot \dot y_0 +  z_0 \cdot \dot z_0

По интегралу энергии:

(1) \frac {1}{a} = \frac {2}{r_0} - \frac {v^2_0}\mu, где μ — гравитационный параметр, равный произведению гравитационной постоянной на массу небесного тела; для Земли μ = 3,986005·105 км³/c², для Солнца μ = 1,32712438·1011 км³/c².

Следовательно, по формуле (1) находим a.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. А. В. Акопян, А. А. Заславский Геометрические свойства кривых второго порядка, — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
  2. То есть, объект движется вокруг Солнца в том же направлении, что и Земля

См. также[править | править вики-текст]