Кинематика (физика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Кинема́тика (греч. κινειν — двигаться) в физике — раздел механики, изучающий математическое описание (средствами геометрии, алгебры, математического анализа…) движения идеализированных тел (материальная точка, абсолютно твердое тело, идеальная жидкость), без рассмотрения причин движения (массы, сил и т. д.). Исходные понятия кинематики — пространство и время. Например, если тело движется по окружности, то кинематика предсказывает необходимость существования центростремительного ускорения без уточнения того, какую природу имеет сила, его порождающая. Причинами возникновения механического движения занимается другой раздел механики — динамика.


Различают классическую кинематику, в которой пространственные (длины отрезков) и временные (промежутки времени) характеристики движения считаются абсолютными, то есть не зависящими от выбора системы отсчёта, и релятивистскую. В последней длины отрезков и промежутки времени между двумя событиями могут изменяться при переходе от одной системы отсчёта к другой. Относительной становится также одновременность. В релятивистской механике вместо отдельных понятий пространство и время вводится понятие пространства-времени, в котором инвариантным относительно преобразований Лоренца является величина, называемая интервалом.

История кинематики[править | править вики-текст]

Долгое время понятия о кинематике были основаны на работах Аристотеля, в которых утверждалось, что скорость падения пропорциональна весу тела, а движение в отсутствие сил невозможно. Только в конце XVI века этим вопросом подробно занялся Галилео Галилей. Изучая свободное падение (знаменитые опыты на Пизанской башне) и инерцию тел, он доказал неправильность идей Аристотеля. Итоги своей работы по данной теме он изложил в книге «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению»[1].

Рождением современной кинематики можно считать выступление Пьера Вариньона перед Французской Академией наук 20 января 1700 года. Тогда впервые были даны понятия скорости и ускорения в дифференциальном виде.

В XVIII веке Ампер первый использовал вариационное исчисление в кинематике.

После создания СТО, показывающей, что время и пространство не абсолютны и скорость имеет принципиальное ограничение, кинематика вошла в новый этап развития в рамках релятивистской механики (см. Релятивистская кинематика).

Основные понятия кинематики[править | править вики-текст]

Задачи кинематики[править | править вики-текст]

Главной задачей кинематики является математическое (уравнениями, графиками, таблицами и т. п.) определение положения и характеристик движения точек или тел во времени. Любое движение рассматривается в определённой системе отсчёта. Также кинематика занимается изучением составных движений (движений в двух взаимно перемещающихся системах отсчёта).

Положение точки (или тела) относительно заданной системы отсчёта определяется некоторым количеством взаимно независимых функций координат:

~ p_1 = f_1(t)
~ p_2 = f_2(t)
~ \vdots
~ p_\mathrm{n} = f_\mathrm{n}(t),

где n определяется количеством степеней свободы. Так как точка не может быть в нескольких местах одновременно, все функции f_i(t) должны быть однозначными. Также в классической механике выдвигается требование их дифференцируемости на промежутках. Производные этих функций определяют скорость тела[2].

Скорость движения определяется как производная координат по времени:

 v_1 = \frac{d p_1 (t)}{dt}
 v_2 = \frac{d p_2 (t)}{dt}
~ \vdots
 v_n = \frac{d p_n (t)}{dt}
 \vec v = v_1 \vec \tau_1 + v_2 \vec \tau_2 + .... + v_n \vec \tau_n ,

где \vec \tau_i — единичные векторы, направленные вдоль соответствующих координат.

Ускорение определяется как производная скорости по времени:

\vec a = {d{\vec v (t)} \over dt}

Следовательно, характер движения можно определить, зная зависимость скорости и ускорения от времени. А если кроме этого известны ещё и значения скорости/координат в определённый момент времени, то движение полностью задано.

Деление кинематики по типам объекта исследования[править | править вики-текст]

В зависимости от свойств изучаемого объекта, кинематика делится на кинематику точки, кинематику твёрдого тела, кинематику деформируемого тела, кинематику газа, кинематику жидкости и т. д.

Кинематика точки[править | править вики-текст]

Основная статья: Кинематика точки

Кинематика точки изучает движение материальных точек — тел, размерами которых можно пренебречь по сравнению с характерными размерами изучаемого явления. Поэтому в кинематике точки скорость, ускорение, координаты всех точек тела считаются равными.

Частные случаи движения в кинематике точки:

  • Если ускорение равно нулю, движение прямолинейное (траектория представляет собой прямую) и равномерное (скорость постоянна).
\vec a = 0
\vec v = \mathrm const
~ p_1 (t) = p_1 (0) + v_1 t
~ p_2 (t) = p_2 (0) + v_2 t
~ \dots
~ p_n (t) = p_n (0) + v_n t
 s =\mid \vec v \mid (t_1 - t_2 )  ,

где s — длина пути траектории за промежуток времени от t_2 до t_1, ~ v_1, v_2, \dots, v_n — проекции \vec v на соответствующие оси координат.

  • Если ускорение постоянно и лежит в одной прямой со скоростью, движение прямолинейное, равнопеременное (равноускоренное, если ускорение и скорость направлены в одном направлении; равнозамедленное — если в разные).
 \vec a = \mathrm const
 \vec v (t) = \vec v (0) + \vec a t
 p_1 (t) = p_1 (0) + v_1 (0) t + \frac {a_1 t^2} {2}
 p_2 (t) = p_2 (0) + v_2 (0) t + \frac {a_2 t^2} {2}
~ \dots
 p_n (t) = p_n (0) + v_n (0) t + \frac {a_n t^2} {2}
 s = \int\limits_{t_1}^{t_2} \mid \vec v (t) \mid dt ,

где s — длина пути траектории за промежуток времени от t_2 до t_1, ~ v_1, v_2, \dots, v_n — проекции \vec v на соответствующие оси координат, ~ a_1, a_2, \dots, a_n — проекции \vec a на соответствующие оси координат.

  • Если ускорение постоянно и перпендикулярно скорости, движение происходит по окружности — вращательное движение.
 \vec a \perp \vec v
 \mid \vec a \mid = \frac { {\mid \vec v \mid }^2} {R}
 s =\mid \vec v \mid (t_1 - t_2 )  ,

где R — радиус окружности, по которой движется тело.

Если выбрать систему декартовых координат xyz так, чтобы центр координат был в центре окружности, по которой движется точка, оси y и x лежали в плоскости этой окружности, так чтобы движение осуществлялось против часовой стрелки, то значения координат можно вычислить по формулам:

 y = R \sin \Bigg( \frac{\mid \vec v \mid}{R} t + \arcsin \Big(\frac{y(0)}{R}\Big) \Bigg)
 x = R \cos \Bigg( \frac{\mid \vec v \mid}{R} t + \arccos \Big(\frac{x(0)}{R}\Big) \Bigg)
~ z = 0

Для перехода в другие системы координат используются преобразования Галилея для скоростей намного меньших скорости света, и преобразования Лоренца для скоростей, сравнимых со скоростью света.

  • Если ускорение постоянно и не лежит на одной прямой с начальной скоростью, движение параболическое.
 \vec a = \mathrm const
 \vec v (t) = \vec v (0) + \vec a t
 s = \int\limits_{t_1}^{t_2} \mid \vec v (t) \mid dt

Если выбрать систему декартовых координат xyz так, чтобы ускорение и начальная скорость лежали в плоскости xy и ускорение было сонаправленно с осью y, то значения координат можно вычислить по формулам:

 y (t) = y (0) + v_y (0) t + \frac{\mid \vec a \mid t^2}{2}
~ x (t) = x (0) + v_x (0) t
~ z = 0 ,

где ~ v_y и ~ v_x  — проекции ~ \vec v на соответствующие оси.

Для перехода в другие системы координат используются преобразования Галилея для скоростей намного меньших скорости света, и преобразования Лоренца для скоростей, сравнимых со скоростью света.

  • Если тело выполняет разные движения в разных направлениях, то эти движения могут рассчитываться отдельно и складываться по принципу суперпозиции. Например, если в одной плоскости тело совершает вращательное движение, а по оси, перпендикулярной этой плоскости — равномерное поступательное, то вид движения — винтовая линия с постоянным шагом.
  • В общем виде скорость, ускорение и координаты вычисляются по общим формулам (см. задачи кинематики), путь вычисляется по формуле:
 s = \int\limits_{t_1}^{t_2} \mid \vec v (t) \mid  dt

Кинематика твёрдого тела[править | править вики-текст]

Кинематика твёрдого тела изучает движение абсолютно твёрдых тел (тел, расстояние между двумя любыми точками которого не может изменяться).

Так как любое тело ненулевого объёма имеет бесконечное число точек, и соответственно бесконечное число фиксированных связей между ними, тело имеет 6 степеней свободы и его положение в пространстве определяется шестью координатами (если нет дополнительных условий).

Связь скорости двух точек твердого тела выражается через формулу Эйлера:

\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{\omega}\times\vec{AB},

где \vec{\omega} — вектор угловой скорости тела.

Кинематика деформируемого тела, Кинематика жидкости[править | править вики-текст]

Основные статьи: Кинематика деформируемого тела, Кинематика жидкости

Кинематика деформируемого тела и кинематика жидкости относятся к кинематике непрерывной среды.

Кинематика газа[править | править вики-текст]

Кинематика газа изучает деление газа на скопления при движении и описывает движение этих скоплений. В рамках кинематики газа описываются не только основные параметры движения, но и типы движения газа.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Научная биография Галилео Галилея
  2. Кинематика — статья из Физической энциклопедии

Литература[править | править вики-текст]

  • Алешкевич В. А., Деденко Л. Г., Караваев В. А. Механика твердого тела. Лекции. — М.: Изд-во Физического факультета МГУ, 1997.
  • Матвеев. А. Н. Механика и теория относительности. — М.: Высшая школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. — 432с.)
  • Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392 с.
  • Сивухин Д. В. Общий курс физики. В 5 т. Том I. Механика. 4-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. — 560с.
  • Стрелков С. П. Механика. — М.: Наука, 1975.
  • Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов (4-е изд.). — М.: Наука, 1968.