Класс Понтрягина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Класс Понтрягинахарактеристический класс, определенный для вещественных векторных расслоений. Введены в 1947 году советским математиком Л. С. Понтрягиным.

Для векторного расслоения \xi с базой B классы Понтрягина обозначаются символом p_i(\xi)\in H^{4i}(B) и полагаются равными

p_i(\xi)=(-1)^ic_{2i}(\xi\otimes\mathbb C),

где \xi\otimes\mathbb Cкомплексификация расслоения \xi, a c_{i}классы Черна.

Полным классом Понтрягина называется неоднородный характеристический класс

p(\xi)=1+p_1(\xi)+p_2(\xi)+\dots.

Если Bгладкое многообразие и расслоение \xi явно не указывается, то предполагается что \xi есть касательное расслоение B.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Через классы Понрягина выражаются L-класс Хирцебруха и \hat A-класс.
  • Если \xi, \eta — два вещественных векторных расслоения над общей базой, то класс когомологий
        p(\xi\oplus\eta)-p(\xi)p(\eta) имеет порядок не больше двух.
    • В частности, если кольцо коэффициентов содержит 1/2, то выполняется равенство
          p(\xi\oplus\eta)=p(\xi)p(\eta).
  • Классы Понтрягина с рациональными коэффициентами двух гомеоморфных многообразий совпадают (теорема С. П. Новикова)
    • Известен пример, показывающий, что целочисленные классы Понтрягина не являются топологическими инвариантами.
  • Для 2k-мерного расслоения \xi справедливо равенство
        p_k(\xi)=e(\xi)^2,
    где e(\xi) обозначает класс Эйлера (англ.).

Литература[править | править исходный текст]

  • Понтрягин Л. С, «Матем. сб.», 1947, т. 21, с. 233—84;
  • Новиков СП., «Докл. АН СССР», 1965, т. 163, с. 298—300;
  • Дж. Милнор, Дж. Сташеф Характеристические классы = Characteristic classes. — М.: Мир, 1979. — 371 с. — 6500 экз.