Класс Штифеля — Уитни

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Класс Штифеля — Уитни — определённый характеристический класс, соответствующий вещественному векторному расслоению E\rightarrow X. Обычно обозначается через w(E). Принимает значения в H^*(X;\;\Z_2), кольце когомологий с коэффициентами в \Z_2=\Z/2\Z.

Компонента w(E) в i-х когомологиях H^i(X;\;\Z_2) обозначается w_i(E) и называется i-м классом Штифеля — Уитни расслоения E, так что

w(E)=w_0(E)+w_1(E)+w_2(E)+\ldots\,.

Классы w_i(E) являются препятствиями в H^i(X;\;\Z_2) к построению (n-i+1)-го линейно независимого сечения E, ограниченного на iостов X.

Аксиоматическое определение[править | править вики-текст]

Здесь и далее, H^i(X;\;G) обозначает сингулярные когомологии пространства X с коэффициентами в группе G.

Класс Штифеля — Уитни определяется как отображение, сопоставляющее расслоению E элемент кольца гомологий w(E) так, что выполняются следующие аксиомы:

  1. Естественность: w(f^* E)=f^* w(E) для любого расслоения E\to X и отображения f:X'\to X, где f^*E обозначает соответствующее индуцированное расслоение над X'.
  2. w_0(E)=1 в H^0(X;\;\Z/2\Z).
  3. w_1(\gamma^1) является образующей H^1(\R P^1;\;\Z/2\Z)\cong\Z/2\Z (условие нормализации). Здесь \gamma^1 — это тавтологическое расслоение.
  4. w(E\oplus F)= w(E)\smallsmile w(F) (формула произведения Уитни).

Можно показать, что удовлетворяющие этим аксиомам классы действительно существуют и единственны (по крайней мере, для паракомпактного пространства X)[1]

Исходное построение[править | править вики-текст]

Классы Штифеля — Уитни w_i(E) были предложены Э. Штифелем (англ.) и Х. Уитни как приведение по модулю 2 классов, измеряющих препятствия к построению (n-i+1)-го линейно независимого сечения E, ограниченного на i-й остов X. (Здесь n — размерность слоя F расслоения E).

Более точно, если X является CW-комплексом, Уитни определил классы W_i(E) в i-й группе клеточных когомологий X с нестандартными коэффициентами.

А именно, в качестве коэффициентов берётся (i-1)гомотопическая группа многообразия Штифеля V_{n-i+1}(F) наборов из n-i+1 линейно независимого вектора в слое F. Уитни доказал, что для построенных им классов W_i(E)=0 тогда и только тогда, когда расслоение E, ограниченное на i-скелет X, имеет n-i+1 линейно независимое сечение.

Поскольку гомотопическая группа \pi_{i-1}V_{n-i+1}(F) многообразия Штифеля всегда или бесконечная циклическая, или изоморфна \Z_2, существует каноническая редукция классов W_i(E) к классам w_i(E)\in H^i(X;\;\Z_2), которые и называются классами Штифеля — Уитни.

В частности, если \pi_{i-1}V_{n-i+1}(F)=\Z_2, то эти классы просто совпадают.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Если мы работаем на многообразии размерности n, то любое произведение классов Штифеля — Уитни общей степени n может быть спарено с \Z_2-фундаментальным классом этого многообразия, давая в результате элемент \Z_2; такие числа называют числами Штифеля — Уитни векторного расслоения. К примеру, для расслоения на трёхмерном многообразии есть три линейно независимых числа Штифеля — Уитни, соответствующие w_1^3, w_1w_2 и w_3. В общем случае, если многообразие n-мерно, различные числа Штифеля — Уитни соответствуют разбиениям n в сумму целых слагаемых.
    • Числа Штифеля — Уитни касательного расслоения к гладкому многообразию называются числами Штифеля — Уитни этого многообразия. Они являются инвариантами кобордизма.
  • Естественному отображению приведения по модулю два, \Z\to\Z_2, соответствует гомоморфизм Бокштейна
    \beta\colon H^i(X;\;\Z_2)\to H^{i+1}(X;\;\Z).
Образ класса w_i под его действием, \beta w_i\in H^{i+1}(X;\;\Z), называется (i+1)целым классом Штифеля — Уитни.
  • В частности, третий целый класс Штифеля — Уитни является препятствием к построению \mathrm{Spin}^C-структуры.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Если расслоение E^k имеет s_1,\;\ldots,\;s_\ell сечений, линейно независимых над каждой точкой, то w_{k-\ell+1}=\ldots=w_k=0.
  • w_i(E)=0 при i>\mathrm{rank}(E).
  • Первый класс Штифеля — Уитни обращается в ноль тогда и только тогда, когда расслоение ориентируемо. В частности, многообразие M ориентируемо тогда и только тогда, когда w_1(TM)=0.
  • Расслоение допускает спинорную структуру, тогда и только тогда, когда первый и второй классы Штифеля — Уитни оба обращаются в ноль.
  • Для ориентируемого расслоения, второй класс Штифеля — Уитни лежит в образе естественного отображения H^2(M,\;\Z)\to H^2(M,\;\Z_2) (или, что то же самое, так называемый третий целый класс Штифеля — Уитни обращается в ноль) тогда и только тогда, когда расслоение допускает \mathrm{Spin}^C-структуру.
  • Все числа Штифеля — Уитни гладкого компактного многообразия X обращаются в ноль тогда и только тогда, когда это многообразие является границей (без учёта ориентации) гладкого компактного многообразия.

Литература[править | править вики-текст]

  • Прасолов В. В. Элементы теории гомологий.
  • Husemoller D. Fibre Bundles. — Springer-Verlag, 1994.
  • Милнор Дж., Сташев Дж. Характеристические классы. — М.: Мир, 1979. — 371 с.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. см. разделы 3.5 и 3.6 книги Хюсмоллера или раздел 8 в Милноре — Сташеве.