Класс Штифеля — Уитни

Класс Штифеля — Уитни — определённый характеристический класс, соответствующий вещественному векторному расслоению $E\rightarrow X$. Обычно обозначается через $w(E)$. Принимает значения в $H^{*}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$, кольце когомологий с коэффициентами в $\mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$.

Компонента $w(E)$ в $i$-х когомологиях $H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ обозначается $w_{i}(E)$ и называется $i$-м классом Штифеля — Уитни расслоения $E$, так что

$w(E)=w_{0}(E)+w_{1}(E)+w_{2}(E)+\ldots \,.$

Классы $w_{i}(E)$ являются препятствиями в $H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ к построению $(n-i+1)$-го линейно независимого сечения $E$, ограниченного на $i$-й остов $X$.

Аксиоматическое определение

Здесь и далее, $H^{i}(X;\;G)$ обозначает сингулярные когомологии пространства $X$ с коэффициентами в группе $G$.

Класс Штифеля — Уитни определяется как отображение, сопоставляющее расслоению $E$ элемент кольца гомологий $w(E)$ так, что выполняются следующие аксиомы:

1. Естественность: $w(f^{*}E)=f^{*}w(E)$ для любого расслоения $E\to X$ и отображения $f:X'\to X$, где $f^{*}E$ обозначает соответствующее индуцированное расслоение над $X'$.
2. $w_{0}(E)=1$ в $H^{0}(X;\;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$.
3. $w_{1}(\gamma ^{1})$ является образующей $H^{1}(\mathbb {R} P^{1};\;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ (условие нормализации). Здесь $\gamma ^{1}$ — это тавтологическое расслоение.
4. $w(E\oplus F)=w(E)\smallsmile w(F)$ (формула произведения Уитни).

Можно показать, что удовлетворяющие этим аксиомам классы действительно существуют и единственны (по крайней мере, для паракомпактного пространства $X$)

Исходное построение

Классы Штифеля — Уитни $w_{i}(E)$ были предложены Э. Штифелем и Х. Уитни как приведение по модулю 2 классов, измеряющих препятствия к построению $(n-i+1)$-го линейно независимого сечения $E$, ограниченного на $i$-й остов $X$. (Здесь $n$ — размерность слоя $F$ расслоения $E$).

Более точно, если $X$ является CW-комплексом, Уитни определил классы $W_{i}(E)$ в $i$-й группе клеточных когомологий $X$ с нестандартными коэффициентами.

А именно, в качестве коэффициентов берётся $(i-1)$-я гомотопическая группа многообразия Штифеля $V_{n-i+1}(F)$ наборов из $n-i+1$ линейно независимого вектора в слое $F$. Уитни доказал, что для построенных им классов $W_{i}(E)=0$ тогда и только тогда, когда расслоение $E$, ограниченное на $i$-скелет $X$, имеет $n-i+1$ линейно независимое сечение.

Поскольку гомотопическая группа $\pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)$ многообразия Штифеля всегда или бесконечная циклическая, или изоморфна $\mathbb {Z} _{2}$, существует каноническая редукция классов $W_{i}(E)$ к классам $w_{i}(E)\in H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$, которые и называются классами Штифеля — Уитни.

В частности, если $\pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)=\mathbb {Z} _{2}$, то эти классы просто совпадают.

Связанные определения

• Если мы работаем на многообразии размерности $n$, то любое произведение классов Штифеля — Уитни общей степени $n$ может быть спарено с $\mathbb {Z} _{2}$-фундаментальным классом этого многообразия, давая в результате элемент $\mathbb {Z} _{2}$; такие числа называют числами Штифеля — Уитни векторного расслоения. К примеру, для расслоения на трёхмерном многообразии есть три линейно независимых числа Штифеля — Уитни, соответствующие $w_{1}^{3}$, $w_{1}w_{2}$ и $w_{3}$. В общем случае, если многообразие $n$-мерно, различные числа Штифеля — Уитни соответствуют разбиениям $n$ в сумму целых слагаемых.
  • Числа Штифеля — Уитни касательного расслоения к гладкому многообразию называются числами Штифеля — Уитни этого многообразия. Они являются инвариантами кобордизма.
• Естественному отображению приведения по модулю два, $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{2}$, соответствует гомоморфизм Бокштейна

  $\beta \colon H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})\to H^{i+1}(X;\;\mathbb {Z} ).$

Образ класса $w_{i}$ под его действием, $\beta w_{i}\in H^{i+1}(X;\;\mathbb {Z} )$, называется $(i+1)$-м целым классом Штифеля — Уитни.

• В частности, третий целый класс Штифеля — Уитни является препятствием к построению $\mathrm {Spin} ^{C}$-структуры.

Свойства

• Если расслоение $E^{k}$ имеет $s_{1},\;\ldots ,\;s_{\ell }$ сечений, линейно независимых над каждой точкой, то $w_{k-\ell +1}=\ldots =w_{k}=0$.
• $w_{i}(E)=0$ при $i>\mathrm {rank} (E)$.
• Первый класс Штифеля — Уитни обращается в ноль тогда и только тогда, когда расслоение ориентируемо. В частности, многообразие $M$ ориентируемо тогда и только тогда, когда $w_{1}(TM)=0$.
• Расслоение допускает спинорную структуру, тогда и только тогда, когда первый и второй классы Штифеля — Уитни оба обращаются в ноль.
• Для ориентируемого расслоения, второй класс Штифеля — Уитни лежит в образе естественного отображения $H^{2}(M,\;\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\;\mathbb {Z} _{2})$ (или, что то же самое, так называемый третий целый класс Штифеля — Уитни обращается в ноль) тогда и только тогда, когда расслоение допускает $\mathrm {Spin} ^{C}$-структуру.
• Все числа Штифеля — Уитни гладкого компактного многообразия $X$ обращаются в ноль тогда и только тогда, когда это многообразие является границей (без учёта ориентации) гладкого компактного многообразия.

Литература

• Прасолов В. В. Элементы теории гомологий.
• Husemoller D. Fibre Bundles. — Springer-Verlag, 1994.
• Милнор Дж., Сташев Дж. Характеристические классы. — М.: Мир, 1979. — 371 с.