Класс PH

В теории алгоритмов классом сложности PH (от англ. polynomial hierarchy) называется объединение всех классов сложности из полиномиальной иерархии:

$\mbox{PH} = \bigcup_{k\in\mathbb{N}} \left(\Sigma^p_k \cup \Pi^p_k\right) = \bigcup_{k\in\mathbb{N}} \Sigma^p_k = \bigcup_{k\in\mathbb{N}} \Pi^p_k$

Таким образом, предикат принадлежит классу PH, если существует такое k, что предикат принадлежит классу $\Sigma^p_k$ или $\Pi^p_k$. Также говорят, что язык, распознаваемый таким предикатом (то есть множество всех слов, на которых предикат возвращает 1), принадлежит классу PH.

Эквивалентные определения

Логическая характеризация

Класс языков PH в точности совпадает с классом языков, выразимых с помощью логики второго порядка.

Игровая характеризация

Назовём конечной игрой следующую структуру. Имеется дерево, вершины которого помечены именами двух игроков A и B (все вершины одного уровня помечены одним и тем же именем, ходы чередуются), а рёбра соответствуют ходам игроков. Пусть дано некоторое начальное слово x — начальная конфигурация игры. Тогда количество уровней в дереве (т.е. количество ходов) равно некоторой функции f от длины x, а каждое ребро помечено словом длины g от длины x (ходом игрока является слово, которым помечено ребро). Имеется предикат $R(x, w_1 w_2 w_3 \dots)$ от начальной конфигурации и последовательности ходов игроков, который определяет, кто выиграл (если он равен 1, то выиграл первый игрок). Поскольку игра конечна, то выигрышная стратегия всегда существует либо у первого игрока, либо у второго. Назовём игру распознающей язык L, если для каждого слова x из L у игрока A есть выигрышная стратегия.

Класс PH является классом всех языков, распознаваемых играми, такими, что f равна константе (т.е. количество ходов в игре фиксировано и не зависит от длины входного слова), а g является многочленом от длины x (таким образом, из каждой вершины дерева, кроме последней, исходит по $2^{p(n)}$ рёбер, где $p(n)$ — этот многочлен).

Замкнутость

В отличие от составляющих класс PH классов полиномиальной иерархии, про PH доподлинно известно, что он замкнут относительно пересечения, объединения и дополнения языков. Это означает, что если языки $L_1$ и $L_1$ принадлежат PH, то языки $L_1 \cap L_2$, $L_1 \cup L_2$ и $L_1^c$ принадлежат PH.

Для доказательства достаточно предъявить игры, распознающие эти комбинации языков, если имеются игры, распознающие $L_1$ и $L_2$. Для дополнения передадим право первого хода другому игроку и в качестве предиката выигрыша возьмём $\neg R_1$. Для пересечения возьмём две игры, распознающие $L_1$ и $L_2$, такими, что количество ходов в них одинаковое, а вторую начинает не тот игрок, который делает последний ход в первой. После этого в каждую концевую вершину первой игры добавим вторую игру, а в качестве предиката выигрыша возьмём $R_1(x,\, \omega_1) \wedge R_2(x,\, \omega_2)$, где $\omega_1$ и $\omega_2$ — разбиение всей последовательности ходов на две: часть, соответствующая первой игре, и часть, соответствующая второй. Для объединения возьмём игры, распознающие $L_1$ и $L_2$, с одинаковым количеством ходов и одинаковым первым игроком. Создадим новую вершину, соответствующую другому игроку, и прицепим к ней одно дерево первой игры (над этим ребром напишем слово 00...0) и оставшиеся $2^{p(n)}-1$ рёбер второй игры. Первое слово игры обозначим z, а остальную часть последовательности слов — $\omega$, а в качестве предиката выигрыша возьмём $(z = 00\dots 0 \wedge R_1 (x, \omega)) \vee (z \neq 00\dots 0 \wedge R_2 (x, \omega))$.

Отношения с другими классами

По определению, в класс PH включены все классы полиномиальной иерархии, в том числе P и NP. Кроме того, он содержит вероятностные классы, такие как класс BPP (т.к. BPP содержится в классе $\Sigma^p_2$). Сам класс PH включён в класс PSPACE и класс P^PP (класс задач, которые решаются за полиномиальное время на машине Тьюринга с доступом к оракулу класса PP).

Открытые проблемы

Установлено, что P = NP, если и только если P = PH. Это утверждение может облегчить доказательство того, что P ≠ NP (если это так), поскольку нужно будет лишь отделить P от более общего класса, чем NP.

Классы сложности алгоритмов