Ковариантность и контравариантность

Ковариантность и контравариантность — используемые в математике (линейной алгебре, дифференциальной геометрии, тензорном анализе) и в физике понятия, характеризующие то, как тензоры (скаляры, векторы, операторы, билинейные формы и т.д.) изменяются при преобразованиях базисов в соответствующих пространствах или многообразиях. Контравариантными называют "обычные" компоненты, которые при смене базиса пространства изменяются с помощью преобразования, обратного преобразованию базиса. Ковариантными же - те, которые изменяются так же как базис.

Связь между ковариантными и контравариантными координатами тензора возможна только в метрических пространствах, то есть в пространствах, где задан метрический тензор.

Термины ковариантность и контравариантность были введены Сильвестром в 1853 году для исследований по алгебраической теории инвариантов.

Ковариантность и контравариантность в векторных пространствах

Контравариантные и ковариантные векторы

Пусть $V$ -некоторое конечномерное векторное пространство и в нем задан некоторый базис $e_i, i=1..n$. Произвольный вектор $x$ можно представить как линейную комбинацию векторов базиса: $x=\sum^n_{i=1}x_ie_i$. В целях упрощения записи (и по причинам, которые станут ясны ниже) обозначим координаты с верхним индексом и примем правило Эйнштейна - если в выражении участвуют одинаковые разноуровневые индексы, то по ним предполагается суммирование. Таким образом можно записать: $x=x^ie_i$. Зададим новый базис с помощью матрицы преобразования $S$. По тем же соображениям введем нижние и верхние индексы (чтобы не писать знаки суммирования) - $S^j_i$. Тогда $e'_i=S^j_ie_j$ (предполагается суммирование по индексу j). Обозначив обратную матрицу $T=S^{-1}$ можно записать: $e_j=T^i_je'_i$. Подставив эту формулу в координатное представление вектора x получим: $x=x^jT^i_je'_i$. Таким образом координаты вектора в новом базисе оказываются равными $x'^i=T^i_jx^j$, то есть преобразуются "противоположно" (обратно) изменению базиса. По этой причине такие векторы называют контравариантными - изменяющимися противоположно базису. Контравариантные векторы - это обычные векторы. Контравариантные векторы в координатном представлении обычно записывают как "вектор-столбец".

Пространство всех линейных функционалов, отображающих векторы в числа называют сопряженным пространством $V^*$. Оно также является векторным пространством той же размерности, что и основное пространство. В этом пространстве также можно определить базис. Обозначим элементы базиса сопряженного пространства с верхним индексом $g^i$. Любой функционал можно представить в этом базисе через координаты, которые будем обозначать нижними индексами. Тогда применяя правило Эйнштейна можем записать: $f=f_ig^i$, то есть любой линейный функционал можно записать просто набором чисел $f_i$, как обычный вектор (за исключением нижнего расположения индекса).

Выберем базис в сопряженном пространстве так, что $g^i(x)=x^i$, то есть эти функционалы находят $i$-ю координату вектора (проекцию на базисный вектор $e_i$). Такой базис называют дуальным (базису основного пространства). При смене базиса основного пространства необходимо сохранить это условие, то есть $g'^i(x)=x'^i=T^i_jx^j=T^i_jg^j(x)$. Таким образом, дуальный базис изменяется обратно изменению основного базиса. Координаты произвольного линейного функционала $f_i$ будут меняться противоположно собственному базису (как и в любом пространстве), то есть с помощью матрицы $T^{-1}=S$. Следовательно, они будут меняться так как основной базис! Это свойство называют ковариантностью. Сами линейные функционалы в координатном представлении в дуальном базисе называют ковариантными векторами или кратко - ковекторами. Внешне ковектор "выглядит" как обычный вектор - в смысле обычного набора чисел, представляющих его координаты. Отличие ковектора от контрвариантного вектора заключается в правиле преобразования его координат при смене базиса - они преобразуются так как базис, в отличие от контрвариантных векторов, преобразующихся противоположно базису. Для идентификации ковекторов используется нижний индекс, в отличие от обычных (контравариантных) векторов. Ковекторы в координатной форме записывают как "вектор-строку".

Контравариантность и ковариантность тензоров

Сказанное про контравариантность и ковариантность векторов можно обобщить на объекты с несколькими индексами - тензоры, частными случаями которых и являются векторы и ковекторы.

По аналогии с линейным функционалом рассмотрим функционал, ставящий в соответствие нескольким ($k$) векторам пространства $V$ некоторое число, обладающий свойством линейности по каждому вектору. Это так называемые полилинейные функции. Можно показать, что все $k$-линейные функции образуют линейное пространство, в котором можно также ввести базис и представить произвольную $k$-линейную функцию в координатном виде. Можно также показать, что их координаты преобразуются как базис основного пространства (так же как и ковариантные векторы). Поэтому такие полилинейные функции называют $k$ раз коваринтными тензорами. Их записывают с нижними индексами. Например, дважды ковариантный тензор обозначается так $A_{ij}$.

Аналогично можно рассматривать полилинейные функции не в основном пространстве, а в сопряженном пространстве $V^*$, совокупность которых также образует линейное пространство $V^{**}$, которое является сопряженным к $V^*$. В координатном представлении в дуальном базисе они преобразуются также как базис пространства $V^*$, а значит противоположно базису основного пространства $V$. То есть они обладают свойством контрвариантности и называются $k$ раз контравариантным тензором. Их обозначают с верхними индексами. В частности дважды контравариантный тензор запишется как $A^{ij}$. Для рассматриваемых обычно пространств выполняется так называемый канонический изоморфизм $V$ и $V^{**}$, то есть эти пространства можно считать неразличимыми. Поэтому 1-раз контравариантный тензор можно считать эквивалентным обычному контравариантному вектору.

Обобщая приведенные определения можно рассматривать полилинейные функции от векторов и ковекторов одновременно. Соответственно, при смене базиса координатная запись такой функции будет преобразовываться с участием как матрицы преобразования основного базиса (в количестве ковекторов, участвующих в полилинейной функции), так и обратного ему (в количестве векторов полилинейной функции). Соответствующий тензор называют m-раз контрвариантным и k-раз ковариантным - $T^m_k$. Для ковариантных компонент используют нижние индексы, для контравариантных - верхние. Например, тензор 1-раз контрвариантный и 1 раз ковариантный тензор обозначается $A^i_j$. Общее количество индексов $k+m$ называется рангом или валентностью тензора. Компонентами тензора являются значения полилинейной функции на базисных векторах. Например, $A^i_j=A(e^i,e_j)$.

Операция суммирования по одинаковым разноуровневым индексам тензоров называется сверткой по этим индексам. Как уже было указано выше по правилу Эйнштейна знак суммирования пропускают. В результате свертки тензора по одному индексу его ранг уменьшается на 2. Например, отображение некоторого контравариантного вектора с помощью некоторого линейного оператора в тензорной записи будет иметь вид $y^i= A^i_jx^j$. Линейные операторы являются классическим примером тензора типа $T^1_1$.

При преобразовании тензора типа $T^m_k$ при смене базиса m раз используется обратная матрица преобразования базиса и k раз обратная. Например, тензор $A^i_j$ типа $T^1_1$ при смене координат преобразуется следующим образом:

$A^{i'}_j =T^q_j S^i_p A^p_q$

Вообще, необходимо понимать, что сам объект от представления его в базисе не зависит. Все преобразования - это представления одного и того же объекта (тензора).

Метрический тензор

Если в линейном пространстве введено скалярное произведение $g$ - билинейная форма (или в тензорной терминологии - дважды ковариантный тензор), обладающий свойствами симметричности и невырожденности. Такие пространства (конечномерные) называют евклидовыми (при условии положительной определенности соответствующей квадратичной формы $g(x,x)$) или псевдоевклидовым (без ограничения знака квадратичной формы). Этот тензор называют метрическим тензором. Компоненты этого тензора в данном базисе $g_{ij}=g(e_i,e_j)$. Если этот базис ортонормированный (такой базис всегда существует в (псевдо)евклидовом пространстве), то матрица компонент является диагональной. На диагонали в случае евклидового пространства - единицы (единичная матрица). В случае псевдоевклидового пространства на диагонали кроме единиц имеются также и "минус-единицы". В общем случае, однако, базисы могут быть не ортогональными, поэтому метрический тензор может быть представлен и недиагональной матрицей (тем не менее в "плоском" пространстве всегда существует преобразование базиса, которое приводит его к диагональному виду).

С помощью метрического тензора скалярное произведение запишется как $g(x,y)=g_{ij}x^iy^j$. В пространствах со скалярным произведением имеет место канонический изоморфизм пространства $V$ и сопряженного пространства $V^*$, то есть каждому вектору ставится в соответствие ковектор и наоборот. Это соответствие осуществляется как раз с помощью скалярного произведения или в тензорной записи - с помощью метрического тензора. А именно, можно записать $x_i=g_{ij}x^j$. Эта операция называется опусканием или спуском индекса. Обратное соответствие осуществляется с помощью контравариантного метрического тензора $x^j=g^{ij}x_i$. Эта операция называется поднятием или подъемом индекса. Несложно показать, что матрицы ковариантного и контравариантного метрических тензоров взаимно-обратны, то есть $g_{ik}g^{kj}=\delta^j_i$. Скалярное произведение можно выразить как в контравариантных, так и в ковариантных векторах: $g(x,y)=g_{ij}x^iy^j=x_iy^j=x^iy_j=g^{ij}x_iy_j$.

В случае ортонормированного базиса в евклидовом пространстве метрический тензор - единичная матрица, поэтому ковариантный вектор в координатной записи совпадает с контравариантным. Поэтому в этом случае деление векторов на контравариантные и ковариантные является лишними усложнением. Однако, уже при неортогональности базиса и (или) псевдоевклидовости пространства такое разграничение имеет значение. В псевдоевклидовом пространстве в ортогональном базисе ковекторы различаются знаками некоторых координат от обычного вектора. Система векторов и ковекторов в таком случае позволяет записывать формулу для длины вектора аналогично случаю евклидового пространства $x_ix^j$. В случае неортогональных (косоугольных) базисов в евклидовых (псевдоевклидовых) пространствах метрический тензор, преобразующий контравариантные векторы в ковариантные, не является диагональным. При этом длина вектора записывается также как в евклидовом пространстве с помощью контравариантных и ковариантных векторов. Все эти случаи объединяет одно - метрический тензор (в данном базисе) имеет одинаковую матрицу для всех точек (векторов) пространства.

В пространствах с метрическим тензором «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» являются фактически разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — обычного вектора или ковектора. То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть набор ковариантных координат) и контравариантный (то есть набор контравариантных координат). То же можно сказать о ковекторе. Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с метрическим тензором. Содержательно же векторы и ковекторы различают лишь по тому, какое из представлений для них естественно. Естественным для обычного вектора является контравариантное представление. Для ковариантного вектора естественным является свертка с обычными векторами без участия метрики. Примером ковариантного вектора является градиент скалярной функции $\mathbf{grad} f(\mathbf{x})=\frac {\partial f} {\partial x^i}=\partial_if$. Его свертка с контравариантным (обычным) вектором $dx^i$ дает инвариант - дифференциал функции $df(x)$. Таким образом, если мы принимаем $dx^i$ в качестве обычных векторов пространства, то градиент должен быть ковектором, чтобы при свертывании не нужно было использовать метрический тензор. При этом сами векторы $dx^i$ требуют при свертывании с такими же векторами использования метрического тензора $\ (dx)^2 = g_{ij} dx^i dx^j$.

Если речь идет об обычном физическом пространстве, простым признаком ковариантности-контравариантрности вектора является то, как свёртывается его естественное представление с набором координат пространственного перемещения $\ dx^i$, являющегося образцом контравариантного вектора. Те, что свёртываются с $\ dx^i$ посредством простого суммирования, без участия метрики, — это ковариантный вектор, что же с участием метрики — это контравариантный вектор. Если же пространство и координаты настолько абстрактны и замечательны, что нет способа различить главный и дуальный базис, кроме как произвольным условным выбором, то содержательное различие между ковариантными и контравариантными векторами пропадает, или становится также чисто условным.

Нередко ковариантным вектором, особенно в физической литературе, называют разложение любого вектора (то есть вектора или ковектора, вектора касательного или кокасательного пространства) по дуальному базису. Тогда речь идет о наборе ковариантных координат любого объекта, обычно, однако, каждый тип объектов стараются записывать в естественном для него базисе, что соответствует основному определению.

Обобщение на криволинейные базисы и искривленные пространства

Базисы евклидового (псеводоевклидового) могут быть и криволинейными. Классический пример криволинейных координат - полярные координаты на евклидовой плоскости. В таком случае базисы можно считать линейными лишь в бесконечно малых окрестностях данной точки. Поэтому справедливым остается выражение для квадрата расстояния для достаточно близких точек: $(dx)^2= g_{ij}dx^idx^j$. В случае криволинейных координат метрический тензор меняется от точки к точке. Таким образом он представляет собой тензорное поле - каждой точке пространства оказывается сопоставлен некоторый метрический тензор.

Более общая ситуация имеет место в случае искривленных пространств - римановых (псевдоримановых) многообразий. Искривленное пространство можно наглядно представить для случая двумерной поверхности - некоторая гладкая кривая поверхность в трехмерном пространстве (например, сферическая поверхность). Внутренняя геометрия такой поверхности (искривленной) - это геометрия искривленного пространства. В общем случае искривленного пространства размерности $n$ - это произвольная (искривленная) гиперповерхность в пространстве большей размерности. Для гладких многообразий со счетной базой доказана теорема Уитни о вложении, согласно которой любое такое многообразие размерности $n$ является вложенным в "плоское" (то есть неискривленное евклидово или псевдоевклидово) пространство размерности $2n$.

В искривленном пространстве могут и не существовать ортогональные и вообще линейные базисы. В общем случае приходится иметь дело именно с криволинейными базисами. В этом случае применение всего вышеуказанного формализма ковариантных и контравариантных векторов приобретает не просто особую важность, а становится неизбежным.

Общие определения

В случае криволинейных координат или искривленных пространств новые координаты являются, вообще говоря, нелинейными функциями старых координат: $x'^i=x'^i(x^1,x^2,...,x^n)$. Для бесконечно малых изменений старых координат $dx^j$ можно определить изменения новых координат через якобиан указанных функций:

$dx'^i=\frac {\partial x'^i}{\partial x^j}dx^j$

Любой вектор $v$, преобразовывающийся так же как и $dx^i$, то есть

$v'^i=\frac {\partial x'^i}{\partial x^j}v^j$

называется контравариантным вектором.

Для некоторой скалярной функции координат $f(x)$ рассмотрим ее градиент $\frac {\partial f(x)}{\partial x^i}$. При переходе к другим координатам имеем:

$\frac {\partial f(x)} {\partial x'^i}=\frac {\partial f(x)}{\partial x^j} \frac {\partial x^j}{\partial x'^i}$

Любой вектор $u$ преобразовывающийся также, как градиент, то есть

$u'_i= \frac {\partial x^j}{\partial x'^i}u_j$

называется ковариантным вектором.

Соответственно, $m$ раз контравариантным и $k$ раз ковариантным тензором (тензором типа $T^m_k$) называется объект преобразующийся при смене базиса применением $m$ раз "обратного" преобразования $\frac {\partial x'^i}{\partial x^j}$ и $k$ раз "прямого" преобразования $\frac {\partial x^j}{\partial x'^i}$.

Например, дважды контравариантный тензор $A^{ij}$ и дважды ковариантный тензор $A_{ij}$ преобразуются по следующим законам:

$A^{ij}=\frac {\partial x'^i}{\partial x^q}\frac {\partial x'^j}{\partial x^p}A^{pq}$ для контравариантного и $A_{ij}=\frac {\partial x^q}{\partial x'^i}\frac {\partial x^p}{\partial x'^j}A_{pq}$

А для 1 раз контравариантного и 1 раз ковариантного тензора преобразования имеют вид:

$A^j_i=\frac {\partial x^p}{\partial x'^i}\frac {\partial x'^j}{\partial x^q}A^q_p$

Алгебра и геометрия

В теории категорий, функторы могут быть ковариантными и контравариантными. Сопряжённое пространство векторного пространства — стандартный пример контравариантного функтора. Некоторые конструкции мультилинейной алгебры являются смешаными, и не являются функторами.

В геометрии то же самое отображение различается в или из пространства, что позволяет определить вариантность конструкции. Касательный вектор к гладкому многообразию M это класс эквивалентности кривых M проходящих через данную точку P. Поэтому он контравариантен, относительно гладкого отображения M. Ковариантный вектор, или ковектор, таким же способом конструируется из гладкого отображения из M на вещественную ось, около P. В кокасательном расслоении, построенном на сопряжённом пространстве касательного расслоения.

Ковариантные и контравариантные компоненты преобразуются разными способами при преобразованиях координат. При рассмотрении координатных преобразований на многообразии как отображения многообразия в себя.

См. также

• Общековариантность
• Ковариантная производная
• Метрический тензор

Литература

• Sternberg, Shlomo (1983), «Lectures on differential geometry», New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0316-0 .