Ковёр Серпинского

Ковёр (квадрат) Серпинского

Ковёр Серпинского (квадрат Серпинского) — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским.

Построение

Квадрат Q₀ делится прямыми, параллельными его сторонам, на 9 равных квадратов. Из квадрата Q₀ удаляется центральный квадрат. Получается множество, состоящее из 8 оставшихся квадратов "первого ранга". Поступая точно так же с каждым из квадратов первого ранга, получим множество Q₁, состоящее из 64 квадратов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность

$Q_0\supset Q_1\supset\dots\supset Q_n\supset\dots ,$

пересечение членов которой есть ковер Серпинского.

Пример скрипта (PHP)  

<?php
        set_time_limit(5);
 
        $i = 6;             // Количество итераций
        $xy = 1500; // Размер стороны картинки
 
        $img = imagecreatetruecolor($xy, $xy);
 
        $black = imagecolorallocate($img, 0, 0, 0);
        $white = imagecolorallocate($img, 255, 255, 255);
 
        $cycle = 0;
        drawCarpet(0, 0, $xy, $xy, $i);
        function drawCarpet($a, $b, $c, $d, $n) {
                global $img, $white, $cycle;
                $cycle++;
 
                if($n <= 0) return;
 
                $a1 = 2 * $a / 3 + $c / 3;
                $c1 = $a / 3 + 2 * $c / 3;
                $b1 = 2 * $b / 3 + $d / 3;
                $d1 = $b / 3 + 2 * $d / 3;
 
                imagefilledrectangle($img, $a1, $b1, $c1, $d1, $white);
 
                drawCarpet($a, $b, $a1, $b1, $n - 1);
                drawCarpet($a1, $b, $c1, $b1, $n - 1);
                drawCarpet($c1, $b, $c, $b1, $n - 1);
 
                drawCarpet($a, $b1, $a1, $d1, $n - 1);
                drawCarpet($c1, $b1, $c, $d1, $n - 1);
 
                drawCarpet($a, $d1, $a1, $d, $n - 1);
                drawCarpet($a1, $d1, $c1, $d, $n - 1);
                drawCarpet($c1, $d1, $c, $d, $n - 1);
        }
 
        imagefilledrectangle($img, 0, 0, (strlen($cycle) * 9) , 16, $white);
        imagestring($img,21,0,0,$cycle,$black);
 
        header('Content-Type: image/png');
        imagepng($img);
?>

Свойства

• Ковер Серпинского замкнут.
• Ковер Серпинского имеет топологическую размерность 1.
• Ковер Серпинского имеет промежуточную (то есть не целую) Хаусдорфову размерность $\ln8/\ln3\approx 1,89$. В частности,
  • имеет нулевую меру Лебега.

См. также

• Салфетка Серпинского (треугольник)
• Кривая Урысона
• Губка Менгера

Ссылки

• Ковёр Серпинского: тематические медиа-файлы на Викискладе
• Variations on the Theme of Tremas II  (англ.)
• Печенье с рисунком-фракталом  (англ.)
• Ковёр Серпинского на сайте FractalWorld