Ковёр Серпинского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Ковёр (квадрат) Серпинского

Ковёр Серпинского (квадрат Серпинского) — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским.

Построение[править | править вики-текст]

Итеративный метод[править | править вики-текст]

Квадрат Q_0 делится прямыми, параллельными его сторонам, на 9 равных квадратов. Из квадрата Q_0 удаляется центральный квадрат. Получается множество, состоящее из 8 оставшихся квадратов "первого ранга". Поступая точно так же с каждым из квадратов первого ранга, получим множество Q_1, состоящее из 64 квадратов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность

Q_0\supset Q_1\supset\dots\supset Q_n\supset\dots ,

пересечение членов которой есть ковер Серпинского.

Метод хаоса[править | править вики-текст]

  1. Задаются координаты 8 точек-аттракторов. Ими являются вершины и середины сторон исходного квадрата Q_0.
  2. Вероятностное пространство (0; 1) разбивается на 8 равных частей, каждая из которых соответствует одному аттрактору.
  3. Задаётся некоторая начальная точка P_0, лежащая внутри квадрата Q_0.
  4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству ковра Серпинского.
    1. Генерируется случайное число n \in (0; 1).
    2. Текущим аттрактором принимается та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число.
    3. Строится точка P_i с новыми координатами: x_i = \frac{x_{i-1} + 2x_A}{3}; y_i = \frac{y_{i-1} + 2y_A}{3}, где: x_{i-1}, y_{i-1} – координаты предыдущей точки P_i; x_A, y_A – координаты текущей точки-аттрактора.
  5. Возврат к началу цикла.

Таким образом, ковёр Серпинского представляет собой частный случай многоугольного множества Серпинского. Он состоит из 8 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/3.

Свойства[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]