Кодекартов квадрат

В теории категорий, кодекартов квадрат — понятие, двойственное понятию декартова квадрата. Кодекартов квадрат морфизмов $f\colon Z\to X$ и $g\colon Z\to Y$ — это копредел диаграммы $X\leftarrow Z \to Y$.

Универсальное свойство

Более явно, кодекартов квадрат морфизмов f и g — это объект P и два морфизма i₁ : X → P and i₂ : Y → P, для которых следующая диаграмма коммутативна:

Более того, кодекартов квадрат (P, i₁, i₂) является универсальным среди объектов с этим свойством. А именно, для любого (Q, j₁, j₂), такого что предыдущая диаграмма коммутатирует, существует единственный морфизм u : P → Q, делающий следующую диаграмму коммутативной:

Как и любые универсальные конструкции, кодекартов квадрат не обязательно существует, но если существует, то определен с точностью до изоморфизма.

Примеры

1. В категории множеств кодекартов квадрат f и g — это дизъюнктное объединение X м Y, в котором склеены элементы с общим прообразом в Z, вместе с понятными морфизмами из X и Y.

2. Конструкция склеивания пространств — пример кодекартова квадрата в категории топологических пространств. Более точно, если Z — подпространство Y и g : Z → Y — вложение мы можем «склеить» Y с X по Z, используя «отображение соответствия» f : Z → X. Получившееся в результате склеенное пространство $X \cup_{f} Y$ which есть просто кодекартов квадрат f и g.

3. В категории абелевых групп, о кодекартовом квадрате тоже можно думать как о прямой сумме абелевых групп «со склейкой». А именно, если f и g — гомоморфизмы с общим источником Z, кодекартов квадрат является факторгруппой прямой суммы по подгруппе, порожденной всеми элементами вида (f(z),−g(z)). Примерно то же самое можно проделать в категории модулей.

Литература

• Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики, — М.: Мир, 1983. — 487 с.
• С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.