Колебательный контур

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Колебательный контур — осциллятор, представляющий собой электрическую цепь, содержащую соединённые катушку индуктивности и конденсатор. В такой цепи могут возбуждаться колебания токанапряжения).

Колебательный контур — простейшая система, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания.

Резонансная частота контура определяется так называемой формулой Томсона:

f_0 = {1 \over 2 \pi \sqrt{L C}}

Принцип действия[править | править вики-текст]

Пусть конденсатор ёмкостью C заряжен до напряжения U_0. Энергия, запасённая в конденсаторе составляет

E_C = \frac{CU_0^2}{2}
Параллельный колебательный контур
Осциллограмма LC контура во время замыкания заряженного конденсатора на катушку индуктивности.
С - 240нФ(заряженный)
L - 360нГн
F0 ≈ 542кГц

При соединении конденсатора с катушкой индуктивности, в цепи потечёт ток I, что вызовет в катушке электродвижущую силу (ЭДС) самоиндукции, направленную на уменьшение тока в цепи. Ток, вызванный этой ЭДС (при отсутствии потерь в индуктивности) в начальный момент будет равен току разряда конденсатора, то есть результирующий ток будет равен нулю. Магнитная энергия катушки в этот (начальный) момент равна нулю.

Затем результирующий ток в цепи будет возрастать, а энергия из конденсатора будет переходить в катушку до полного разряда конденсатора. В этот момент электрическая энергия конденсатора E_C = 0. Магнитная же энергия, сосредоточенная в катушке, напротив, максимальна и равна

E_L = \frac{LI_0^2}{2}, где L — индуктивность катушки, I_0 — максимальное значение тока.

После этого начнётся перезарядка конденсатора, то есть заряд конденсатора напряжением другой полярности. Перезарядка будет проходить до тех пор, пока магнитная энергия катушки не перейдёт в электрическую энергию конденсатора. Конденсатор, в этом случае, снова будет заряжен до напряжения -U_0.

В результате в цепи возникают колебания, длительность которых будет обратно пропорциональна потерям энергии в контуре.

В общем, описанные выше процессы в параллельном колебательном контуре называются резонанс токов, что означает, что через индуктивность и ёмкость протекают токи, больше тока проходящего через весь контур, причем эти токи больше в определённое число раз, которое называется добротностью. Эти большие токи не покидают пределов контура, так как они противофазны и сами себя компенсируют. Стоит также заметить, что сопротивление параллельного колебательного контура на резонансной частоте стремится к бесконечности (в отличие от последовательного колебательного контура, сопротивление которого на резонансной частоте стремится к нулю), а это делает его незаменимым фильтром.

Стоит заметить, что помимо простого колебательного контура, есть ещё колебательные контуры первого, второго и третьего рода, что учитывают потери и имеют другие особенности.

Математическое описание процессов[править | править вики-текст]

Напряжение на идеальной катушке индуктивности при изменении протекающего тока:

u_L = -L\frac{di_L}{dt}

Ток, протекающий через идеальный конденсатор, при изменении напряжения на нём:

i_C = C\frac{du_C}{dt}

Из правил Кирхгофа, для цепи, составленной из параллельно соединённых конденсатора и катушки следует:

u_L=u_C, — для напряжений,

и

i_C=i_L — для токов.

Совместно решая систему дифференциальных уравнений (дифференцируя одно из уравнений и подставляя результат в другое), получаем:

\frac{d ^{2}i(t)}{dt^{2}} + \frac{1}{LC} i(t) = 0

Это дифференциальное уравнение гармонического осциллятора с циклической частотой собственных колебаний \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} (она называется собственной частотой гармонического осциллятора).

Решением этого уравнения 2-го порядка является выражение, зависящее от 2 начальных условий:

i(t) = I_a \sin({\omega}t+\varphi)

где I_a — некая постоянная, определяемая начальными условиями, называемая амплитудой колебаний, \varphi — также некоторая постоянная, зависящая от начальных условий, называемая начальной фазой.

Например, при начальных условиях \varphi = 0 и амплитуде начального тока I_aрешение сведётся к:

~i(t) = I_a \sin( {\omega}t )

Решение может быть записано также в виде

~i(t) = I_{a1} \sin({\omega}t)+I_{a2} \cos({\omega}t)

где I_{a1} и I_{a2} — некоторые константы, которые связаны с амплитудой I_a и фазой \varphi следующими тригонометрическими соотношениями:

~I_{a1} = I_a\cos{(\varphi)},
~I_{a2} = I_a\sin{(\varphi)}.

Комплексное сопротивление (импеданс) колебательного контура[править | править вики-текст]

Колебательный контур может быть рассмотрен как двухполюсник, представляющий собой параллельное включение конденсатора и катушки индуктивности. Комплексное сопротивление такого двухполюсника можно записать как

 \hat z(i \omega)\;= \frac {i \omega L}{1 - \omega ^2 LC}

где i — мнимая единица.

Для такого двухполюсника может быть определена т. н. характеристическая частота (или резонансная частота), когда импеданс колебательного контура стремится к бесконечности (знаменатель дроби стремится к нулю).

Эта частота равна

 \omega_{h} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

и совпадает по значению с собственной частотой колебательного контура.

Из этого уравнения следует, что на одной и той же частоте может работать множество контуров с разными величинами L и C, но с одинаковым произведением LC.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Скрипников Ю. Ф. Колебательный контур — М.: Энергия, 1970—128 с.: ил. — (МРБ; Вып. 739)
  • Изюмов Н. М., Линде Д. П. Основы радиотехники. - М.:Радио и связь, 1983