Колебательный контур

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Колебательный контур — электрическая цепь, содержащая последовательно соединённые катушку индуктивности и конденсатор. В такой цепи могут возбуждаться колебания тока (и напряжения).

Колебательный контур - простейшая система, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания

Содержание

1 Принцип действия
2 Математическое описание процессов
3 Комплексное сопротивление (импеданс) колебательного контура
4 Примечания
5 См. также
6 Литература

[править] Принцип действия

Пусть конденсатор ёмкостью C заряжен до напряжения $U 0$ . Энергия, запасённая в конденсаторе составляет

$E_C = \frac{CU_0^2}{2}$

Колебательный контур

При соединении конденсатора с катушкой индуктивности ,в цепи потечёт ток $I$ , что вызовет в катушке электродвижущую силу (ЭДС) самоиндукции, направленную на уменьшение тока в цепи. Ток, вызванный этой ЭДС (при отсутствии потерь в индуктивности) в начальный момент будет равен току разряда конденсатора, то есть результирующий ток будет равен нулю. Магнитная энергия катушки в этот (начальный) момент равна нулю.

Затем результирующий ток в цепи будет возрастать, а энергия из конденсатора будет переходить в катушку до полного разряда конденсатора. В этот момент электрическая энергия колебательного контура $E C = 0$ . Магнитная же энергия, сосредоточенная в катушке, напротив, максимальна и равна

$E_L = \frac{LI_0^2}{2}$ , где

L

— индуктивность катушки,

I 0

— максимальное значение тока.

После этого начнётся перезарядка конденсатора, то есть заряд конденсатора напряжением другой полярности. Перезарядка будет проходить до тех пор, пока магнитная энергия катушки не перейдёт в электрическую энергию конденсатора. Конденсатор, в этом случае, снова будет заряжен до напряжения $- U 0$ .

В результате в цепи возникают колебания, длительность которых будет обратно пропорциональна потерям энергии в контуре.

В общем, описанные выше процесы в параллельном колебательном контуре называются резонанс токов, что означает, что через индуктивность и ёмкость протекают токи, больше тока проходящего через весь контур, причем эти токи больше в определённое число раз, которое называется добротностью. Эти большие токи не покидают пределов контура, так как они противофазны и сами себя компенсируют. Стоит также заметить, что сопротивление параллельного колебательного контура на резонансной частоте стремится к бесконечности (в отличии от последовательного колебательного контура, сопротивление которого на резонансной частоте стремится к нулю), а это делает его незаменимым фильтром.

Стоит заметить, что помимо простого колебательного контура, есть ещё колебательные контуры первого, второго и третьего рода, что учитывают потери и имеют другие особенности.

[править] Математическое описание процессов

Напряжение, возникающее в катушке при изменении протекающего тока равно

$u_L = -L\frac{di_L}{dt}$ .

Аналогично для тока, вызванного изменением напряжения на конденсаторе:

$i_C = C\frac{du_C}{dt}$ .

Поскольку всё возникающее в катушке напряжение падает на конденсаторе, то $u L = u C$ , а ток, вызванный конденсатором проходит через катушку, то $i C = i L$ . Дифференцируя одно из уравнений и подставляя результат в другое, получаем

$\frac{d ^{2}i(t)}{dt^{2}} + \frac{1}{LC} i(t) = 0$

Это уравнение гармонического осциллятора с круговой частотой $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ (иначе она называется собственной частотой гармонического осциллятора)

Решением такого уравнения является

$i(t) = I_a \sin({\omega}t+\varphi)$

где $I a$ — некая постоянная, называемая амплитудой колебаний, $\varphi$ — также некоторая постоянная, называемая начальной фазой. И, например, при начальных условиях $\varphi = 0$ решение сведётся к

$~i(t) = I_a \sin( {\omega}t )$

Решение может быть записано также в виде

$~i(t) = I_{a1} \sin({\omega}t)+I_{a2} \cos({\omega}t)$

где $I a 1$ и $I a 2$ - некоторые константы, которые связаны с амплитудой $I a$ и фазой $\varphi$ следующими отношениями

$~I_{a1} = I_a\cos{(\varphi)}$

$~I_{a2} = I_a\sin{(\varphi)}$

[править] Комплексное сопротивление (импеданс) колебательного контура

Колебательный контур может быть рассмотрен как двуполюсник. Колебательный контур может быть рассмотрен как параллельное включение двух комплексных сопротивлений ёмкости и индуктивности. Комплексное сопротивление такого двуполюсника можно записать как

$\hat z(i \omega)\;= \frac {i \omega L}{1 - \omega ^2 LC};$

где $~i$ - мнимая единица. Для такого двухполюсника может быть определена т.н. характеристическая частота (она же резонансная частота), когда импеданс колебательного контура стремится к бесконечности (знаменатель дроби стремится к нулю). Эта частота равна

$\omega_{h} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

и совпадает по значению с собственной частотой колебательного контура.

Из этого уравнения следует, что на одной и той же частоте может работать множество контуров с разными величинами L и C, но с одинаковым произведением LC.