Вариация (статистика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Колеблемость»)
Перейти к: навигация, поиск

Вариа́ция — различие значений какого-либо признака у разных единиц совокупности за один и тот же промежуток времени. Причиной возникновения вариации являются различные условия существования разных единиц совокупности. Вариация — необходимое условие существования и развития массовых явлений.[1] Определение вариации необходимо при организации выборочного наблюдения, статистическом моделировании и планировании экспертных опросов. По степени вариации можно судить об однородности совокупности, устойчивости значений признака, типичности средней, о взаимосвязи между какими-либо признаками.[2]

Показатели вариации[править | править исходный текст]

Абсолютные показатели[править | править исходный текст]

  • размах вариации:
\mathbf\R=x_{\max}-x_{\min};
a=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|x_i-\bar{x}|,

где \bar{x} — выборочное среднее.

\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2};
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2;
q=\frac{(Q_3-\mathrm{Me})+(\mathrm{Me}-Q_1)}{2}=\frac{(Q_3-Q_1)}{2},

где Q_1, Q_3 — первый (нижний) и третий (верхний) квартили соответственно, \mathrm{Me}=Q_2 — медиана (второй или серединный квартиль).

Относительные показатели[править | править исходный текст]

  • относительный размах вариации (коэффициент осцилляции):
\rho=\frac{R}{\bar{x}};
  • относительное отклонение по модулю (линейный коэффициент вариации):
m=\frac{a}{\bar{x}};
  • коэффициент вариации:
V=\frac{\sigma}{\bar{x}};

Коэффициент вариации случайной величины — мера относительного разброса случайной величины; показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет её средний разброс. Исчисляется в процентах. Вычисляется только для количественных данных. В отличие от среднего квадратического или стандартного отклонения измеряет не абсолютную, а относительную меру разброса значений признака в статистической совокупности. По мнению автора рассматриваемого коэффициента К. Пирсона — коэффициент вариации эффективнее абсолютного показателя вариации[3].

Известно, что коэффициент вариации может быть записан посредством долей[4]:

V=\sqrt{n\sum^n_{i=1}p_i^2-1},

где p_i=\frac{x_i}{\sum\limits^n_{i=1}x_i}.

\nu=\frac{\sigma}{\mu},

где \mu — математическое ожидание. Эта формула применяется для вероятностных моделей.

  • относительное квартильное расстояние:
d=\frac{q}{\bar{x}}.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Елисеева И. И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики: Учебник. — М.: Финансы и статистика, 2002.
  2. Шмойлова Р. А. Общая теория статистики: Учебник. — М.: Финансы и статистика, 2002.
  3. Pearson K. Mathematical contributions to the theory of evolution. III. Regression, heredity, and panmixia // Philos. Trans. of the Royal Soc. of London. Ser. A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character. — 1896. — V. 187. — рр. 253—318.
  4. Крамер Г. Математические методы статистики. — М.: Мир, 1975. — 848 с.