Кольцо Куммера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В общей алгебре кольцо Куммера \mathbb{Z}[\zeta] - это подкольцо кольца комплексных чисел, каждый элемент которого имеет вид

 n_0 + n_1 \zeta + n_2 \zeta^2 + ... + n_{m-1} \zeta^{m-1}\

где ζ - mth корни из единицы, т.е.

 \zeta = e^{2 \pi i / m} \

и все nk целые.

Кольцо Куммера является расширением \mathbb{Z} кольца целых, отсюда и обозначение \mathbb{Z}[\zeta]. Поскольку минимальным многочленом для ζ является mкруговой многочлен, кольцо \mathbb{Z}[\zeta] является расширением степени \phi(m) (здесь φ обозначает функцию Эйлера).

Попытка представить кольцо Куммера на диаграмме Арганда может дать нечто подобное гигантской карте эпохи возрождения с розами ветров и локсодромами.

Множество единиц кольца Куммера содержит  \{1, \zeta, \zeta^2, \ldots ,\zeta^{m-1}\} . По теореме Дирихле о единицах существуют единицы бесконечного порядка, За исключением случаев m=1 и m=2 (в этих случаях мы имеем обычное кольцо целых), а также случая m=4 (гауссовы целые числа) и случаев m=3, m=6 (целые числа Эйзенштейна).

Кольца Куммера названы в честь Эрнста Куммера, который изучал единственность разложения их элементов.

Смотрите также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Allan Clark Elements of Abstract Algebra (1984 Courier Dover) p. 149

Круговое поле