Кольцо главных идеалов

Кольцо главных идеалов — кольцо, каждый идеал которого является главным. В случае некоммутативного кольца различают кольцо главных правых идеалов и кольцо главных левых идеалов.

Примеры

• Все евклидовы кольца, в том числе, кольцо целых чисел $\Bbb Z$, являются кольцами главных идеалов.
• Пример кольца, не являющегося кольцом главных идеалов — кольцо многочленов $\R[x,y]$. В нём идеал, порождённый $\langle x,y \rangle$ не является главным, то есть, не может быть порождён одним элементом кольца.

Свойства

• Кольцо главных идеалов является нётеровым.
• Все кольца главных идеалов являются кольцами Безу.

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7