Кольцо дискретного нормирования

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Кольцо дискретного нормирования — это кольцо, которое можно получить в результате дискретного нормирования некоторого поля выбором подмножества элементов с неотрицательной нормой. Такое кольцо можно определить множеством эквивалентных способов.

Кольцо дискретного нормирования — это целостное кольцо R, удовлетворяющее одному из следующих (эквивалентных) условий:

1) R — локальная область главных идеалов, не являющаяся полем.
2) R — локальное дедекиндово кольцо, не являющееся полем.
3) R — нётерово локальное кольцо, размерность Крулля которого равна единице, а единственный максимальный идеал — главный.
4) R — целозамкнутое одномерное нётерово локальное кольцо.
5) R — область главных идеалов с единственным ненулевым простым идеалом.
6) R — факториальное кольцо с единственным неразложимым элементом (с точностью до взятия ассоциированных).
7) Существует дискретное нормирование поля частных кольца R, такое что R совпадает со множеством элементов с неотрицательной нормой.

Примеры[править | править исходный текст]

  • Обозначим \mathbb Z_{(2)}=\{ p/q \;|\; p,q\in \mathbb Z, q\not\vdots \;2 \}. Поле частных этого кольца — всё \mathbb Q. Разложим числитель и знаменатель произвольного рационального r на простые и представим его в виде 2^kp/q с нечетными p,q, положим v(r)=k. Тогда \mathbb Z_{(2)} — кольцо дискретного нормирования, соответствующее v. Заметим, что \mathbb Z_{(2)} — локализация дедекиндова кольца \mathbb Z по простому идеалу (2). Оказывается, что локализация любого дедекиндова кольца по ненулевому простому идеалу — кольцо дискретного нормирования.
  • В качестве более геометричного примера возьмем кольцо рациональных функций, знаменатель которых не равен нулю в нуле, то есть функций, которые определены в некоторой окрестности нуля. Такие функции образуют кольцо дискретного нормирования, единственный неприводимый элемент — функция x (с точностью до взятия ассоциированных), а соответствующее нормирование рациональных функций — порядок нуля (возможно, нулевой или отрицательный) этой функции в нуле. Этот пример является стандартным для изучения алгебраической кривой в неособой точке; в данном случае, алгебраическая кривая — вещественная ось.
  • Другой важный пример — кольцо формальных степенных рядов; здесь неприводимый элемент — ряд x, а нормирование — степень первого ненулевого коэффициента. Если ограничиться вещественными или комплексными коэффициентами, можно рассмотреть ряды, сходящиеся в некоторой окрестности нуля — это по-прежнему кольцо дискретного нормирования.
  • Кольцо p-адических чисел \mathbb Z_p.

Топология[править | править исходный текст]

Любое кольцо дискретного нормирования естественным образом является топологическим кольцом, расстояние между элементами x и y задаётся следующим образом:

|x-y| = 2^{-\nu(x-y)}

(вместо 2 можно взять любое действительное число >1). Интуитивно, элемент мал (близок к нулю), если его норма велика.

Кольцо дискретного нормирования компактно тогла и только тогда, когда оно полно и поле вычетов R/m (m — максимальный идеал) конечно.

Литература[править | править исходный текст]

  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М: Мир, 1972
  • Dummit, David S. & Fost2=Richard M. (2004), «» (3rd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-43334-7