Кольцо многочленов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В общей алгебре, кольцо многочленов — это кольцо, образованное многочленами от одной или нескольких переменных с коэффициентами из другого кольца. Изучение свойств колец многочленов оказало большое влияние на многие области современной математики; можно привести примеры теоремы Гильберта о базисе, конструкции поля разложения и изучения свойств линейных операторов.

Многочлены от одной переменной над полем[править | править вики-текст]

Многочлены[править | править вики-текст]

Многочлен от x с коэффициентами в поле k — это выражение вида

p = p_m x^m + p_{m - 1} x^{m - 1} + \cdots + p_1 x + p_0,

где p0, …, pm — элементы k, коэффициенты p, а x, x2, … — формальные символы («степени x»). Такие выражения можно складывать и перемножать по обычным правилам действий с алгебраическими выражениями (коммутативность сложения, дистрибутивность, приведение подобных членов и т. д.). Члены pkxk с нулевым коэффициентом pk при записи обычно опускаются. Используя символ суммы, многочлены записывают в более компактном виде:

p = p_m x^m + p_{m - 1} x^{m - 1} + \cdots + p_1 x + p_0 = \sum_{k=0}^m p_k x^k.

Кольцо многочленов k[x][править | править вики-текст]

Легко видеть, что множество всех многочленов с коэффициентами в K образует коммутативное кольцо, обозначаемое k[x] и называемое кольцом многочленов над k. Символ x обычно называют «переменной», эта терминология возникла из рассмотрения полиномиальных функций над R или над C. Однако в общем случае многочлены и полиномиальные функции — это разные вещи; например, над конечным полем \mathbb F_p    из простого числа элементов многочлены x и x^p задают одну и ту же функцию, но это разные многочлены (многочлены считаются равными тогда и только тогда, когда у них совпадают все коэффициенты). Следовательно, переменную x нельзя считать принадлежащей полю k; о кольце k[x] можно думать так: мы добавляем во множество элементов поля новый элемент x и требуем только того, чтобы выполнялись аксиомы кольца и чтобы x коммутировал с элементами поля.

Поскольку элементы кольца многочленов можно умножать на «скаляры» из поля k, оно фактически является ассоциативной алгеброй над полем k. Если рассматривать k[x] как векторное пространство (то есть «забыть» об умножении), оно имеет бесконечный базис из элементов 1, x, x2 и т. д.

Разложение на простые в k[x][править | править вики-текст]

В кольце k[x] один многочлен можно разделить на другой (например, воспользовавшись алгоритмом деления столбиком) с остатком. При этом степень остатка будет меньше, чем степень делителя, это делает функцию «степень многочлена» евклидовой функцией, а кольцо многочленов — евклидовым. Из этого следует, что в кольце многочленов можно осуществить алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя, а значит, существует разложение на простые (такие кольца называются факториальными). Из этого также следует, что k[x] — область главных идеалов.

Факторкольца k[x][править | править вики-текст]

Рассмотрим коммутативное кольцо L, содержащее поле k, такое что существует элемент θ кольца L, причем L порождается θ над k, то есть любой элемент L можно выразить через θ и коэффициенты из поля k с помощью операций сложения и умножения. Тогда существует единственный гомоморфизм колец φ из k[x] в L, «сохраняющий» k и отправляющий x в θ. Сюръективность этого отображения означает в точности то, что L порождется θ над k. Применив к этому отображению теорему о гомоморфизме, получаем, что L изоморфно факторкольцу k[x] по ядру φ; поскольку любой идеал в k[x] главный,

 L \simeq k[x]/(p).

Важный частный случай — когда кольцо, содержащее k, само является полем; обозначим его K. Простота фактормодуля по  (p) равносильна неприводимости p. Теорема о примитивном элементе утверждает, что любое конечное сепарабельное расширение может быть порождено одним элементом, и, следовательно, имеет вид фактора кольца многочленов над меньшим полем по неприводимому многочлену. В качестве примера можно привести поле комплексных чисел, которое порождено над R элементом i, таким что i2 + 1 = 0. Соответственно, многочлен x2 + 1 неприводим над R и

 \mathbb{C} \simeq \mathbb{R}[x]/(X^2+1).

Более общо, для произвольного (даже некоммутативного) кольца A, содержащего k и элемента a кольца A, коммутирующего со всеми элементами k, существует единственный гомоморфизм колец из k[x] в A, отправляющий x в a:

 \phi: k[x]\to A, \quad \phi(x)=a.

Существование и единственность такого гомоморфизма выражается с помощью определенного универсального свойства кольца многочленов и объясняет определенную «уникальность» кольца многочленов в различных конструкциях теории колец и коммутативной алгебры.

Модули[править | править вики-текст]

k[x] — область главных идеалов, поэтому к модулям над ним применима соответствующая структурная теорема. Эта классификация важна в теории линейных операторов, так как модули над k[x] взаимно-однозначно соответствуют линейным операторам на k-векторном пространстве.

Многочлены над кольцом[править | править вики-текст]

Многочлены над кольцом определяются совершенно аналогично многочленам над полем, однако бо{'}льшая часть перечисленных выше свойств для них перестаёт быть верной. Во-первых, к многочленам над произвольным кольцом нельзя применить алгоритм деления столбиком — ведь в кольце невозможно делить даже на многочлены нулевой степени (константы). Следовательно, в общем случае кольцо многочленов не является евклидовым (и даже областью главных идеалов), однако R[x] останется факториальным в том случае, если само R факториально. В этом же смысле при переходе к кольцу многочленов сохраняются свойства целостности и нётеровости (последний результат известен как теорема Гильберта о базисе).

Кольцо многочленов от нескольких переменных[править | править вики-текст]

Определение[править | править вики-текст]

Многочлен от n переменных X1,…, Xn с коэффициентами в поле K определяется аналогично многочлену от одной переменной, но обозначения становятся более сложными. Для любого мультииндекса α = (α1,…, αn), где каждое αi — ненулевое целое число, пусть

 X^\alpha = \prod_{i=1}^n X_i^{\alpha_i} =
X_1^{\alpha_1}\ldots X_n^{\alpha_n}, \quad
p_\alpha = p_{\alpha_1\ldots\alpha_n}\in\mathbb{K}.\

Xα называется одночленом степени  |\alpha| = \sum_{i=1}^n \alpha_i. Многочлен — это конечная линейная комбинация одночленов с коэффициентами в K: \sum_\alpha p_\alpha X^\alpha .

Многочлены от n переменных с коэффициентами в поле k (с обычными операциями сложения и умножения) образуют коммутативное кольцо, обозначаемое k[x1,…, xn]. Это кольцо можно получить многократным применением операции «взятие кольца многочленов над данным кольцом». Например, k[x1, x2] изоморфно k[x1][x2], как и k[x2][x1]. Это кольцо игрет фундаментальную роль в алгебраической геометрии. Многие результаты коммутативной алгебры были достигнуты благодаря изучению идеалов этого кольца и модулей над ним.

Теорема Гильберта о нулях[править | править вики-текст]

Несколько фундаментальных результатов, касающихся взаимосвязи между идеалами кольца k[x1,…, xn] и алгебраическими подмногообразиями kn известны под общим именем теоремы Гильберта о нулях.

 m = (x_1-a_1, \ldots, x_n-a_n), \quad a = (a_1, \ldots, a_n) \in k^n.
  • (слабая форма, любое поле коэффициентов) Пусть k — поле, K — алгебраически замкнутое поле, содержащее k и I — идеал в кольце k[x1,…, xn]. Тогда I содержит 1 в том и только в том случае, когда многочлены из I не имеют общего нуля в Kn.
  • (сильная форма) Пусть k — поле, K — алгебраически замкнутое поле, содержащее k, I — идеал в кольце k[x1,…, xn] и V(I) — алгебраическое подмногообразие, Kn определенное I. Пусть f — многочлен, равный нулю во всех точках V(I). Тогда некоторая степень f принадлежит идеалу I.
Если использовать определение радикала идеала, эта теорема утверждает, что f принадлежит радикалу I. Немедленное следствие из этой формы теоремы — существование биективного соответствия между радикальными идеалами K[x1,…, xn] и алгебраическими подмногообразиями n-мерного аффинного пространства Kn.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]