Кольцо частных

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В коммутативной алгебре кольцом частных S−1R коммутативного кольца R (с единицей) по мультипликативной системе S\subset R называется пространство дробей с числителями из R и знаменателями из S с арифметическими операциями и отождествлениями, обычными для дробей. Используется также термин локализация кольца R по множеству S. Этот термин происходит из алгебраической геометрии: если R — это кольцо функций на алгебраическом многообразии V, то для того, чтобы изучить локальные свойства этого многообразия в точке p, обычно рассматривают множество функций, которые не равны нулю в этой точке и локализуют R по этому множеству.

Обычное обозначение для локализации (или кольца частных) — S−1R, однако в отдельных случаях чаще употребляют другие обозначения. Так, если S — дополнение простого идеала I, локализация R обозначается как RI (и называется локализацией кольца по простому идеалу), а если S — множество всех степеней элемента f, используется обозначение Rf. Последние два случая являются фундаментальными для теории схем.

Формальное определение[править | править вики-текст]

Мультипликативной системой в кольце R называется подмножество S в R, содержащее 1, не содержащее нуля и замкнутое по умножению (в кольце R). Для мультипликативной системы S множество I_S = \{ a\in R: \, \exist s\in S, \, as=0 \} образует идеал в кольце R. В случае, когда множество S не содержит делителей нуля кольца R, идеал I_S = (0) и система S называется регулярной. Если R — целостное кольцо, в ней всякая мультипликативная система регулярна.

Элементами кольца частных кольца R по мультипликативной системе S являются формальные дроби вида r/s, где r — произвольный элемент R, а s — элемент множества S. Две дроби r_1/s_1 и r_2/s_2 считаются эквивалентными (представляют один и тот же элемент кольца частных), если r_1s_2 - r_2s_1\in I_S. Операции сложения и умножения определяются как обычно:

\,r_1/s_1 + r_2/s_2 = (r_1s_2 + r_2s_1)/s_1s_2
\,r_1/s_1 * r_2/s_2 = r_1r_2/s_1s_2

Проверяется, что если в сумме или произведении дроби заменить на эквивалентные, новый результат будет выражаться дробью, эквивалентной прежней. С такими операциями множество S^{-1}R приобретает структуру коммутативного кольца с единицей. Нулём в нём служит дробь 0/1, единицей — дробь 1/1.

Поле частных[править | править вики-текст]

Если R — целостное кольцо, множество всех его ненулевых элементов образует мультипликативную систему. Кольцо частных по этой системе является полем и называется полем частных, обычно обозначаемым Quot(R). Все элементы поля частных имеют вид a/b, где a, b — элементы R и b ≠ 0, с обычными арифметическими правилами сокращения числителя и знаменателя, сложения и умножения. Легко видеть, что поле частных — наименьшее поле, в которое можно вложить R. Например, поле частных поля изоморфно самому полю.

Существует естественное вложение кольца в свое поле частных, отправляющее a в a/1. Поле частных кольца R удовлетворяет следующему универсальному свойству: если h : RF — инъективный гомоморфизм колец из R в поле F, то существует единственный гомморфизм колец g : Quot(R) → F, который совпадает с h на элементах R. Это универсальное свойство можно выразить такими словами: поле частных — это стандартный способ сделать элементы кольца обратимыми, соответственно, кольцо частных — это стандартный способ сделать некоторое подмножество элементов кольца обратимыми.

В терминах теории категорий конструкцию поля частных можно описать следующим образом. Рассмотрим категорию, объекты которой — целостные кольца, а морфизмы — инъективные гомоморфизмы колец. Существует забывающий функтор из категории полей в эту категорию (так как все гомоморфизмы полей инъективны). Оказывается, что у этого функтора существует левый сопряженный, он и сопоставляет целостному кольцу его поле частных.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Кольцо частных имеет каноническую структуру алгебры над кольцом R, так как вместе с кольцом S−1R сразу определён и канонический гомоморфизм кольца R в S−1R (каждому элементу r из R соответствует дробь r/1). Ядром этого гомоморфизма является идеал I_S. В случае, если система S регулярна (не содержит делителей нуля), этот гомоморфизм инъективен, и кольцо R, таким образом, вложено в своё кольцо частных по системе S. При этом дробь r/s является единственным решением уравнения sx = r.
  • Если оба элемента r и s принадлежат S, тогда в кольце S−1R содержатся дроби r/s и s/r. Их произведение равно 1, следовательно, они обратимы. Обратно: каждый обратимый элемент кольца S−1R имеет вид er/s, где r и s принадлежат S, а e — обратимый элемент кольца R.
  • Если R — евклидово кольцо, то всякое кольцо, промежуточное между R и его полем частных, является кольцом частных кольца R по некоторой мультипликативной системе S.
  • Если система S состоит из одних только обратимых элементов кольца R, канонический гомоморфизм кольца R в S−1R превращается в изоморфизм, так как каждая дробь r/s оказывается сократимой в кольце R.
  • Существует биекция между множеством простых идеалов S−1R и множеством простых идеалов R, не пересекающихся со множеством S (индуцируемая гомоморфизмом RS −1R). Важный частный случай этог свойства — то, что локализация кольца по простому идеалу p даёт локальное кольцо, единственный простой идеал которого порожден образами элементов p.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Полем частных кольца целых чисел \mathbb Z является поле рациональных чисел \mathbb Q.
  • Степени числа 10 в \mathbb Z образуют мультипликативную систему. Кольцом частных по ней будет кольцо конечных десятичных дробей.
  • Полем частных кольца многочленов k[X_1,X_2,...,X_n] над полем k будет поле рациональных функций k(X_1,X_2,...,X_n).
  • Чётные числа в \mathbb Z образуют простой идеал. Локализацией кольца \mathbb Z по нему будет кольцо рациональных дробей, у которых в несократимом виде знаменатель — нечётное число.
  • Рассмотрим кольцо многочленов k[x] и f = x. Тогда Rf — кольцо многочленов Лорана[en] k[x, x−1].

Модули частных[править | править вики-текст]

Примерно такую же конструкцию можно применить и к модулям и для произвольного A-модуля M рассмотреть модуль частных S−1M. А именно, пусть I_S — множество элементов модуля, аннулируемых умножением на какой-либо элемент мультипликативной системы S, легко проверить, что это множество замкнуто относительно сложения и умножения на элемент кольца. Модуль частных S−1M — это множество формальных дробей вида m/s с отношением эквивалентности r_1/s_1 \equiv r_2/s_2, если r_1s_2 - r_2s_1\in I_S, с обычной операцией сложения дробей, а также с операцией умножения на элементы кольца S−1A вида m/s * a/s' = am/ss'.

Пусть u:M\to N — гомоморфизм A-модулей, он индуцирует гомоморфизм S−1A-модулей S^{-1}u:S^{-1}M\to S^{-1}N, отображающий m/s в u(m)/s. Очевидно, что S^{-1}(u\circ v):S^{-1}u\circ S^{-1}v, то есть операция S−1 является функтором. Более того, этот функтор является точным.[1] Из этого следует, что если M' является подмодулем M, то и S^{-1}M' является подмодулем S^{-1}M. Если же мы рассмотрим два подмодуля данного модуля, то применение к ним S−1 перестановочно со взятием суммы модулей, пересечения модулей и взятием фактормодуля.

Существует представление модуля частных при помощи тензорного произведения: S^{-1}M\cong S^{-1}A\otimes_A M. Из этого представления и из точности функтора локализации следует, что модуль S^{-1}M является плоским.

Локальные свойства[править | править вики-текст]

Свойство P кольца A (или A-модуля M) называется локальным если следующие утверждения эквивалентны:

  • A (соотв. M) обладает свойством P,
  • AI (соотв. MI) обладает свойством P для всех простых идеалов I кольца A.

Можно привести следующие примеры локальных свойств: свойство модуля быть равным нулю, свойство гомоморфизма быть инъективным или сюръективным (нужно рассматривать гомоморфизмы, индуцированные локализацией), свойство модуля быть плоским.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру, 2003.
  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Факториал Пресс, 2003 — ISBN 5-88688-067-4.
  • Зарисский О., Самуэль П. Коммутативная алгебра т.1 — М.: ИЛ, 1963