Кольцо (геометрия)

Кольцо

Кольцо — плоская геометрическая фигура, ограниченная двумя концентрическими окружностями.

Открытое кольцо является топологическим эквивалентом цилиндра $S^{1}\times (0,1)$ и проколотой плоскости.

Площадь кольца

Площадь кольца, ограниченного окружностями радиусов R и r, определяется как разность площадей кругов с такими радиусами:

$A=\pi (R^{2}-r^{2})$

Площадь кольца также может быть вычислена путём умножения числа пи на квадрат половины длины самого большого отрезка, лежащего внутри кольца. Это можно доказать через теорему Пифагора — такой отрезок будет являться касательной к кругу меньшего радиуса. Половина длины отрезка с радиусами r и R образуют прямоугольный треугольник.

В комплексном анализе

Kольцо $\mathrm {ann} (a;r,R)$ на комплексной плоскости определяется следующим образом:

$\mathrm {ann} (a;r,R)=\{\,z\in \mathbb {C} \mid r<|z-a|<R\,\}.$

Kольцо является открытым множеством Если r равно 0, область называется проколотым диском радиуса R вокруг точки a.

Как подмножество комплексной плоскости кольцо может рассматриваться в качестве Римановой поверхности. Комплексная структура кольца зависит только от отношения r/R. Каждое кольцо ann(a; r, R) может быть голоморфно отображено в расположенное в начале координат стандартное кольцо с внешним радиусом 1 с помощью отображения:

$z\mapsto {\frac {z-a}{R}}.$

Внутренний радиус тогда будет r/R < 1.

Свойства

• Теорема Адамара о трёх кругах устанавливает максимальное значение, принимаемое аналитической функцией внутри кольца.

Ссылки

• Площадь кольца, формула, интерактивная анимация (англ.)